16 В треугольнике АВС проведена биссектриса AL. Угол АВС равен 100°, угол ALC равен 135°. Найдите угол ВАС.

Решение:

Дано: ∠ALC = 135°; ∠ABC = 100°

Найти: ∠BAC

• ∠LAC + ∠ALC + ∠ACL = 180°
• ∠LAC = 180° - ∠ALC - ∠ACL
• ∠LAC = 135°
• ∠LAC = 180° - 135° - ∠ACL = 45° - ∠ACL
• ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°; ∠ABC = 100°
• ∠BAC=90° - 2·∠ACB + 100°+ ∠ACB = 180°
• ∠ACB = 190° - 180°=10°
• ∠BAC = 90° - 2·10°=90° - 20°= 70°

Ответ: ∠BAC = 40°

Опечатка: ∠BAC = 70°, а не 40°

Решение:

• Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике ALC:$$ ∠LAC + ∠ALC + ∠ACL = 180°$$ Подставим известные значения углов: $$ ∠LAC + 135° + ∠ACL = 180°$$ Выразим угол LAC:$$ ∠LAC = 180° - 135° - ∠ACL$$ $$ ∠LAC = 45° - ∠ACL$$
• AL - биссектриса угла BAC, значит:$$ ∠BAC = 2 · ∠LAC$$
• Сумма углов треугольника ABC равна 180°:$$ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°$$ Подставим известные значения углов:$$ ∠BAC + 100° + ∠ACB = 180°$$ Выразим угол BAC:$$ ∠BAC = 180° - 100° - ∠ACB$$ $$ ∠BAC = 80° - ∠ACB$$
• Выразим ∠ACB через ∠ACL, так как это один и тот же угол:$$ ∠ACB = ∠ACL$$ Подставим в уравнение для ∠BAC:$$ ∠BAC = 80° - ∠ACL$$
• Выразим ∠LAC через ∠BAC, так как AL - биссектриса:$$ ∠LAC = ∠BAC / 2$$
• Подставим ∠LAC в первое уравнение:$$ ∠BAC / 2 = 45° - ∠ACL$$
• Выразим ∠ACL:$$ ∠ACL = 45° - ∠BAC / 2$$
• Подставим ∠ACL в уравнение для ∠BAC:$$ ∠BAC = 80° - (45° - ∠BAC / 2)$$ $$ ∠BAC = 80° - 45° + ∠BAC / 2$$ $$ ∠BAC = 35° + ∠BAC / 2$$
• Перенесем ∠BAC / 2 в левую часть уравнения:$$ ∠BAC - ∠BAC / 2 = 35°$$ $$ ∠BAC / 2 = 35°$$
• Умножим обе части уравнения на 2:$$ ∠BAC = 70°$$

Ответ: ∠BAC = 70°