В треугольнике АВС проведена биссектриса 4D и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Пусть \(\angle BAC = x\). Так как AD — биссектриса угла \(\angle BAC\), то \(\angle BAD = \angle CAD = \frac{x}{2}\).
2. В треугольнике ABD сторона AB равна стороне AD, значит, треугольник ABD — равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle ABD = \angle ADB\). Сумма углов в треугольнике ABD равна 180°, поэтому \[ \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ \] \[ \frac{x}{2} + \angle ABD + \angle ABD = 180^\circ \] \[ 2 \angle ABD = 180^\circ - \frac{x}{2} \] \[ \angle ABD = 90^\circ - \frac{x}{4} \]
3. Рассмотрим треугольник ADC. Поскольку AD = CD, треугольник ADC — равнобедренный с углом при вершине D, равным \(\angle CAD = \frac{x}{2}\). Следовательно, углы при основании AC равны: \[ \angle DAC = \angle DCA = \frac{x}{2} \] Тогда \(\angle ADC = 180^\circ - 2 \cdot \frac{x}{2} = 180^\circ - x\).
4. Угол ADB и ADC — смежные, поэтому \[ \angle ADB + \angle ADC = 180^\circ \] \[ \angle ADB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - (180^\circ - x) = x \]
5. Учитывая, что \(\angle ADB = \angle ABD\), получаем \[ x = 90^\circ - \frac{x}{4} \] \[ x + \frac{x}{4} = 90^\circ \] \[ \frac{5x}{4} = 90^\circ \] \[ x = \frac{4}{5} \cdot 90^\circ = 72^\circ \] Значит, \(\angle BAC = 72^\circ\).
6. Найдем угол ABC, зная, что \(\angle ABD = 90^\circ - \frac{x}{4}\): \[ \angle ABC = 90^\circ - \frac{72^\circ}{4} = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \]
7. В треугольнике ABC угол ACB равен углу ACD, то есть \(\angle ACB = \frac{x}{2}\): \[ \angle ACB = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \]
8. Итак, углы треугольника ABC равны: \(\angle BAC = 72^\circ, \angle ABC = 72^\circ, \angle ACB = 36^\circ\). Меньший угол — это угол ACB.

Ответ: 36°