В треугольнике АВС проведена медиана AM. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 57° и BM = AM = MC.

Решение:

• Так как AM — медиана, то AM = MC = BM.
• Рассмотрим треугольник ABM. Поскольку AM = BM, он является равнобедренным. Следовательно, ∠A = ∠BAM.
• Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = MC, он является равнобедренным. Угол при вершине M равен ∠AMC = 180° - ∠BMC.
• В треугольнике BMC: ∠BMC = 180° - ∠C - ∠MBC = 180° - 57° - ∠MBC.
• В равнобедренном треугольнике ABM: ∠AMB = 180° - ∠A - ∠BAM = 180° - 2∠A.
• Углы ∠AMB и ∠BMC — смежные, поэтому ∠AMB + ∠BMC = 180°.
• Подставим выражения для углов: (180° - 2∠A) + (180° - 57° - ∠MBC) = 180°.
• 180° - 2∠A + 180° - 57° - ∠MBC = 180°.
• 180° - 2∠A - 57° - ∠MBC = 0.
• 2∠A + ∠MBC = 123°.
• В треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• ∠A + ∠B + 57° = 180°.
• ∠A + ∠B = 123°.
• ∠B = ∠BAM + ∠MBC = ∠A + ∠MBC.
• Подставим ∠B в предыдущее уравнение: ∠A + (∠A + ∠MBC) = 123°.
• 2∠A + ∠MBC = 123°.
• Из треугольника AMC: ∠MAC = ∠C = 57°.
• Но AM — медиана, значит M — середина BC.
• В треугольнике ABC, если медиана AM равна половине стороны BC (AM = BM = MC), то треугольник ABC является прямоугольным и угол ∠BAC = 90°.

Ответ: 90°