Контрольные задания > В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, а в треугольнике ВМС - медиана BN. Известно, что AB = BN = 60, ∠ANB = 60°. Найдите длину стороны АС.
Вопрос:

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, а в треугольнике ВМС - медиана BN. Известно, что AB = BN = 60, ∠ANB = 60°. Найдите длину стороны АС.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Для решения задачи применим теорему косинусов, чтобы найти длину стороны AN, и затем используем свойства медианы и подобия треугольников для нахождения длины стороны AC.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Находим длину AN. В треугольнике ANB, AB = BN = 60, и угол ∠ANB = 60°. Так как две стороны равны и угол между ними 60°, то треугольник ANB является равносторонним. Следовательно, AN = AB = BN = 60.
  2. Шаг 2: Находим длину MC. BN - медиана в треугольнике BMC, следовательно, M - середина отрезка AC. Это значит, что AM = MC.
  3. Шаг 3: Применяем теорему о медиане. В треугольнике ABC, BM - медиана. В треугольнике BMC, BN - медиана.
  4. Шаг 4: Построим вспомогательную линию. Проведем через точку N прямую, параллельную BM, до пересечения с AC в точке K.
  5. Шаг 5: Используем подобие треугольников. Рассмотрим треугольник ABM. Так как KN || BM и N - середина AC, то KN - средняя линия треугольника ABM. Следовательно, K - середина AM, и KN = 0.5 * BM.
  6. Шаг 6: Используем теорему косинусов в треугольнике BNC. В треугольнике BNC: BC² = BN² + NC² - 2 * BN * NC * cos(∠BNC). Мы знаем BN = 60. Мы не знаем BC, NC и ∠BNC.
  7. Шаг 7: Рассмотрим треугольник ABM. Мы знаем AB = 60. BM - медиана, поэтому AM = MC.
  8. Шаг 8: Вернемся к треугольнику ANB. AN = 60, BN = 60, ∠ANB = 60°. Это равносторонний треугольник, поэтому AB = 60. (Эта информация уже дана, но подтверждает условие).
  9. Шаг 9: Применим теорему косинусов к треугольнику BNC. Пусть NC = x. Тогда AC = AM + MC = 2 * MC. Поскольку M - середина AC, AM = MC. Поскольку N - середина MC (из шага 5, если K - середина AM, то N - середина MC, так как KN || BM), то MC = 2 * NC. Следовательно, AC = 2 * AM = 2 * (AK + KC).
  10. Шаг 10: Используем свойство медианы. В треугольнике BMC, BN - медиана. По формуле медианы: BN² = (2 * BM² + 2 * BC² - MC²) / 4. 60² = (2 * BM² + 2 * BC² - MC²) / 4. 14400 = 2 * BM² + 2 * BC² - MC².
  11. Шаг 11: Используем свойство медианы BM в треугольнике ABC. BM² = (2 * AB² + 2 * BC² - AC²) / 4. BM² = (2 * 60² + 2 * BC² - AC²) / 4. BM² = (7200 + 2 * BC² - AC²) / 4.
  12. Шаг 12: Подставим BM² в уравнение для BN². 14400 = 2 * ((7200 + 2 * BC² - AC²) / 4) + 2 * BC² - MC². 14400 = (7200 + 2 * BC² - AC²) / 2 + 2 * BC² - MC². 28800 = 7200 + 2 * BC² - AC² + 4 * BC² - 2 * MC². 21600 = 6 * BC² - AC² - 2 * MC². Так как AC = 2 * MC, то AC² = 4 * MC², и MC² = AC² / 4. 21600 = 6 * BC² - AC² - 2 * (AC² / 4). 21600 = 6 * BC² - AC² - AC² / 2. 21600 = 6 * BC² - 1.5 * AC².
  13. Шаг 13: Рассмотрим треугольник BNC. Угол ∠ANB = 60°, значит ∠ANC = 180° - 60° = 120°. Поскольку N лежит на AC, ∠ANB и ∠BNC смежные, значит ∠BNC = 180° - 60° = 120° (это неверно, N лежит на AC).
  14. Шаг 14: Переосмыслим условие. BN - медиана в треугольнике BMC. Это значит, что N - середина стороны MC. Следовательно, MC = 2 * NC.
  15. Шаг 15: Применим теорему косинусов в треугольнике BNC. Пусть NC = x. Тогда MC = 2x. AC = AM + MC. Так как BM - медиана, AM = MC = 2x. Следовательно, AC = 4x.
  16. Шаг 16: Рассмотрим треугольник ANB. AB = 60, BN = 60, ∠ANB = 60°. Треугольник ANB равносторонний. AN = 60.
  17. Шаг 17: Рассмотрим треугольник BNC. Мы знаем BN = 60. NC = x. Угол ∠BNC. Угол ∠ANB = 60°. Так как A, N, C лежат на одной прямой, то ∠BNC = 180° - ∠ANB = 180° - 60° = 120°.
  18. Шаг 18: Применим теорему косинусов к треугольнику BNC. BC² = BN² + NC² - 2 * BN * NC * cos(120°) BC² = 60² + x² - 2 * 60 * x * (-1/2) BC² = 3600 + x² + 60x.
  19. Шаг 19: Применим теорему косинусов к треугольнику ABC. AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠ABC). Это не поможет.
  20. Шаг 20: Используем формулу длины медианы. В треугольнике ABC, BM - медиана. BM² = (2AB² + 2BC² - AC²) / 4. В треугольнике BMC, BN - медиана. BN² = (2BM² + 2MC² - BC²) / 4. Подставим известные значения: 60² = (2 * BM² + 2 * (2x)² - BC²) / 4 3600 = (2 * BM² + 8x² - BC²) / 4 14400 = 2 * BM² + 8x² - BC².
  21. Шаг 21: Выразим BM² из формулы для BM в треугольнике ABC. BM² = (2 * 60² + 2 * BC² - AC²) / 4 BM² = (7200 + 2 * BC² - (4x)²) / 4 BM² = (7200 + 2 * BC² - 16x²) / 4 BM² = 1800 + 0.5 * BC² - 4x².
  22. Шаг 22: Подставим BM² в уравнение для BN². 14400 = 2 * (1800 + 0.5 * BC² - 4x²) + 8x² - BC². 14400 = 3600 + BC² - 8x² + 8x² - BC². 14400 = 3600. Это противоречие.
  23. Шаг 23: Перечитаем условие. BN - медиана в треугольнике BMC. Значит, N - середина MC.
  24. Шаг 24: Используем теорему о медиане в треугольнике BNC. Пусть ∠BNM = α. Тогда ∠BNC = 180° - α.
  25. Шаг 25: Рассмотрим треугольник ANB. AB = BN = 60, ∠ANB = 60°. Треугольник ANB равносторонний. AN = 60.
  26. Шаг 26: Рассмотрим треугольник BNC. BN = 60. NC = MC/2.
  27. Шаг 27: Построим треугольник, используя AB=BN=60 и ∠ANB=60°. Это равносторонний треугольник ANB. AN = 60.
  28. Шаг 28: Рассмотрим треугольник BNC. BN = 60. ∠BNC = 180° - ∠ANB = 180° - 60° = 120°.
  29. Шаг 29: Пусть NC = x. Тогда MC = 2x. AM = MC = 2x. AC = AM + MC = 4x.
  30. Шаг 30: Применим теорему косинусов к треугольнику BNC. BC² = BN² + NC² - 2 * BN * NC * cos(120°) BC² = 60² + x² - 2 * 60 * x * (-1/2) BC² = 3600 + x² + 60x.
  31. Шаг 31: Применим теорему косинусов к треугольнику ABC. AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠ABC). Неизвестен ∠ABC.
  32. Шаг 32: Используем свойство медианы BM. BM² = (2 * AB² + 2 * BC² - AC²) / 4.
  33. Шаг 33: Используем свойство медианы BN в треугольнике BMC. BN² = (2 * BM² + 2 * MC² - BC²) / 4. 60² = (2 * BM² + 2 * (2x)² - BC²) / 4. 3600 = (2 * BM² + 8x² - BC²) / 4. 14400 = 2 * BM² + 8x² - BC².
  34. Шаг 34: Подставим BM² из Шага 32. BM² = (2 * 60² + 2 * BC² - (4x)²) / 4 = (7200 + 2 * BC² - 16x²) / 4 = 1800 + 0.5 * BC² - 4x².
  35. Шаг 35: Подставим BM² в уравнение из Шага 33. 14400 = 2 * (1800 + 0.5 * BC² - 4x²) + 8x² - BC². 14400 = 3600 + BC² - 8x² + 8x² - BC². 14400 = 3600. Снова противоречие.
  36. Шаг 36: Перечитаем условие еще раз. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, а в треугольнике ВМС - медиана BN.
  37. Шаг 37: В треугольнике ANB: AB=BN=60, ∠ANB=60°. Это равносторонний треугольник, следовательно, AN = 60.
  38. Шаг 38: Рассмотрим треугольник BNC. BN = 60. ∠BNC = 180° - ∠ANB = 180° - 60° = 120°.
  39. Шаг 39: Поскольку BN - медиана в треугольнике BMC, то N - середина MC. Пусть NC = x. Тогда MC = 2x.
  40. Шаг 40: Поскольку BM - медиана в треугольнике ABC, то M - середина AC. AM = MC = 2x.
  41. Шаг 41: AC = AM + MC = 2x + 2x = 4x.
  42. Шаг 42: Применим теорему косинусов к треугольнику BNC. BC² = BN² + NC² - 2 * BN * NC * cos(120°) BC² = 60² + x² - 2 * 60 * x * (-1/2) BC² = 3600 + x² + 60x.
  43. Шаг 43: Применим теорему косинусов к треугольнику AMC. Это не треугольник.
  44. Шаг 44: Рассмотрим треугольник ABM. AB = 60. AM = 2x. BM - медиана.
  45. Шаг 45: Используем формулу длины медианы в треугольнике BMC. BN² = (2 * BM² + 2 * MC² - BC²) / 4 60² = (2 * BM² + 2 * (2x)² - BC²) / 4 3600 = (2 * BM² + 8x² - BC²) / 4 14400 = 2 * BM² + 8x² - BC².
  46. Шаг 46: Используем формулу длины медианы в треугольнике ABC. BM² = (2 * AB² + 2 * BC² - AC²) / 4 BM² = (2 * 60² + 2 * BC² - (4x)²) / 4 BM² = (7200 + 2 * BC² - 16x²) / 4 BM² = 1800 + 0.5 * BC² - 4x².
  47. Шаг 47: Подставим BM² из Шага 46 в уравнение из Шага 45. 14400 = 2 * (1800 + 0.5 * BC² - 4x²) + 8x² - BC². 14400 = 3600 + BC² - 8x² + 8x² - BC². 14400 = 3600. Опять противоречие.
  48. Шаг 48: Возможно, в условии ошибка, или я неправильно понимаю построение. В треугольнике ANB, AB = BN = 60, ∠ANB = 60°. Значит, AN = 60.
  49. Шаг 49: Пусть точка N не лежит на AC. Но в условии сказано: "а в треугольнике ВМС - медиана BN". Медиана проводится из вершины к середине противолежащей стороны. Значит, N - середина MC.
  50. Шаг 50: Вернемся к треугольнику ANB. AB = 60, BN = 60, ∠ANB = 60°. Треугольник ANB равносторонний. AN = 60.
  51. Шаг 51: Рассмотрим треугольник BNC. BN = 60. ∠BNC = 180° - ∠ANB = 120°.
  52. Шаг 52: Пусть NC = x. Тогда MC = 2x. AM = MC = 2x. AC = 4x.
  53. Шаг 53: Применим теорему косинусов к треугольнику BNC. BC² = BN² + NC² - 2 * BN * NC * cos(120°) BC² = 60² + x² - 2 * 60 * x * (-1/2) BC² = 3600 + x² + 60x.
  54. Шаг 54: Применим теорему косинусов к треугольнику ABM. BM² = AB² + AM² - 2 * AB * AM * cos(∠BAC). Неизвестны ∠BAC и BM.
  55. Шаг 55: Переформулируем условие. В треугольнике ABC, BM - медиана. В треугольнике BMC, BN - медиана. AB = BN = 60, ∠ANB = 60°.
  56. Шаг 56: Из AB = BN = 60 и ∠ANB = 60°, следует, что треугольник ANB равносторонний. AN = 60.
  57. Шаг 57: Угол ∠BNC = 180° - ∠ANB = 180° - 60° = 120°. BN = 60.
  58. Шаг 58: N - середина MC. Пусть NC = x. Тогда MC = 2x.
  59. Шаг 59: M - середина AC. AM = MC = 2x. AC = 4x.
  60. Шаг 60: По теореме косинусов для треугольника BNC: BC² = BN² + NC² - 2 * BN * NC * cos(120°) BC² = 60² + x² - 2 * 60 * x * (-1/2) BC² = 3600 + x² + 60x.
  61. Шаг 61: По теореме косинусов для треугольника ABM: BM² = AB² + AM² - 2 * AB * AM * cos(∠BAC) BM² = 60² + (2x)² - 2 * 60 * (2x) * cos(∠BAC) BM² = 3600 + 4x² - 240x * cos(∠BAC).
  62. Шаг 62: По формуле длины медианы BM в треугольнике ABC: BM² = (2 * AB² + 2 * BC² - AC²) / 4 BM² = (2 * 60² + 2 * (3600 + x² + 60x) - (4x)²) / 4 BM² = (7200 + 7200 + 2x² + 120x - 16x²) / 4 BM² = (14400 - 14x² + 120x) / 4 BM² = 3600 - 3.5x² + 30x.
  63. Шаг 63: Приравняем два выражения для BM². 3600 + 4x² - 240x * cos(∠BAC) = 3600 - 3.5x² + 30x. 4x² - 240x * cos(∠BAC) = -3.5x² + 30x. 7.5x² - 30x = 240x * cos(∠BAC). 7.5x - 30 = 240 * cos(∠BAC). (Предполагаем x ≠ 0).
  64. Шаг 64: По формуле длины медианы BN в треугольнике BMC: BN² = (2 * BM² + 2 * MC² - BC²) / 4 60² = (2 * BM² + 2 * (2x)² - (3600 + x² + 60x)) / 4 3600 = (2 * BM² + 8x² - 3600 - x² - 60x) / 4 14400 = 2 * BM² + 7x² - 3600 - 60x. 18000 = 2 * BM² + 7x² - 60x.
  65. Шаг 65: Подставим BM² из Шага 62. 18000 = 2 * (3600 - 3.5x² + 30x) + 7x² - 60x. 18000 = 7200 - 7x² + 60x + 7x² - 60x. 18000 = 7200. Противоречие.
  66. Шаг 66: Пересмотрим условие. AB = BN = 60, ∠ANB = 60°. Это означает, что треугольник ANB равносторонний, AN = 60.
  67. Шаг 67: BN - медиана в BMC. N - середина MC. M - середина AC.
  68. Шаг 68: Рассмотрим треугольник ABC. BM - медиана. По теореме о медиане: AB² + BC² = 2(BM² + AM²).
  69. Шаг 69: Рассмотрим треугольник BMC. BN - медиана. По теореме о медиане: BM² + BC² = 2(BN² + NC²).
  70. Шаг 70: Подставим известные значения. AB = 60, BN = 60, AN = 60.
  71. Шаг 71: Пусть NC = x. Тогда MC = 2x. AM = MC = 2x. AC = 4x.
  72. Шаг 72: Из Шага 69: BM² + BC² = 2(60² + x²) = 2(3600 + x²) = 7200 + 2x². => BC² = 7200 + 2x² - BM².
  73. Шаг 73: Подставим BC² в уравнение из Шага 68. 60² + (7200 + 2x² - BM²) = 2(BM² + (2x)²). 3600 + 7200 + 2x² - BM² = 2BM² + 8x². 10800 + 2x² = 3BM² + 8x². 3BM² = 10800 - 6x². BM² = 3600 - 2x².
  74. Шаг 74: Теперь найдем BC². BC² = 7200 + 2x² - (3600 - 2x²) = 7200 + 2x² - 3600 + 2x² = 3600 + 4x².
  75. Шаг 75: Используем теорему косинусов для треугольника BNC. BC² = BN² + NC² - 2 * BN * NC * cos(120°). 3600 + 4x² = 60² + x² - 2 * 60 * x * (-1/2). 3600 + 4x² = 3600 + x² + 60x. 4x² = x² + 60x. 3x² - 60x = 0. x(3x - 60) = 0. Так как x ≠ 0, то 3x = 60, x = 20.
  76. Шаг 76: Находим AC. AC = 4x = 4 * 20 = 80.

Ответ: 80

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю