В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, на стороне АВ взята точка К так, что АК = 1/3 АВ. Площадь треугольника АМК равна 5. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Это значит, что точка М делит сторону АС пополам: \( AM = MC \).

На стороне АВ взята точка К так, что \( AK = \frac{1}{3} AB \).

Площадь треугольника АМК равна 5.

Рассмотрим треугольники АМК и АВС.

Площадь треугольника АМК можно выразить как \( S_{AMK} = \frac{1}{2} AK · h_M \), где \( h_M \) — высота, опущенная из точки М на сторону АВ.

Площадь треугольника АВС равна \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB · h_C \), где \( h_C \) — высота, опущенная из точки С на сторону АВ.

Однако, более простой способ решения основывается на свойствах площадей треугольников, имеющих равные высоты или основания.

Рассмотрим треугольники АМК и АМВ. У них общая высота, проведенная из вершины М к стороне АВ. Отношение их площадей равно отношению их оснований:

\( \frac{S_{AMK}}{S_{AMB}} = \frac{AK}{AB} = \frac{1}{3} \)

Из этого следует, что \( S_{AMB} = 3 · S_{AMK} = 3 · 5 = 15 \).

Так как ВМ — медиана, она делит треугольник АВС на два равновеликих треугольника: \( S_{AMB} = S_{CMB} \).

Значит, \( S_{CMB} = 15 \).

Площадь всего треугольника АВС равна сумме площадей треугольников АМВ и СМВ:

\( S_{ABC} = S_{AMB} + S_{CMB} = 15 + 15 = 30 \).

Ответ: Площадь треугольника АВС равна 30.