В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=51° и ВМ+АМ+MC.

Ответ: 51°

Разбираемся:

• По условию, BM = AM = MC.
• Это означает, что треугольник BMC равнобедренный, и углы при основании MC равны: ∠MBC = ∠C = 51°.
• Также, треугольник ABM равнобедренный, и углы при основании AM равны: ∠A = ∠MBA.
• Поскольку BM = AM = MC, точка M — центр описанной окружности треугольника ABC.
• Следовательно, BM - радиус этой окружности.
• В равнобедренном треугольнике BMC углы при основании равны, значит, ∠MBC = ∠C = 51°.
• Угол ∠BMA — внешний угол треугольника BMC, поэтому ∠BMA = ∠MBC + ∠C = 51° + 51° = 102°.
• Так как треугольник ABM равнобедренный (AM = BM), то углы при основании AM равны, значит, ∠A = ∠MBA.
• Сумма углов в треугольнике ABM равна 180°, поэтому ∠A + ∠MBA + ∠BMA = 180°.
• 2∠A + 102° = 180°.
• 2∠A = 180° - 102° = 78°.
• ∠A = 78° / 2 = 39°.

Ответ: 51°