В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 66° и BM = AM = MC.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) проведена медиана \( BM \). По условию \( BM = AM = MC \).

Рассмотрим треугольник \( ABM \). Так как \( BM = AM \), то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:

\( \angle BAM = \angle ABM \).

Рассмотрим треугольник \( BCM \). Так как \( BM = MC \), то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:

\( \angle MBC = \angle MCB \).

По условию \( \angle C = 66^{\circ} \). Так как \( \angle MBC = \angle MCB \), то \( \angle MBC = 66^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике \( ABM \) равна \( 180^{\circ} \). Пусть \( \angle BAM = \angle ABM = x^{\circ} \).

Тогда \( \angle AMB = 180^{\circ} - (x^{\circ} + x^{\circ}) = 180^{\circ} - 2x^{\circ} \).

Углы \( \angle AMB \) и \( \angle BMC \) — смежные, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle BMC = 180^{\circ} - \angle AMB = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2x^{\circ}) = 2x^{\circ} \).

В треугольнике \( BCM \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180^{\circ} \)

\( 66^{\circ} + 66^{\circ} + 2x^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 132^{\circ} + 2x^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2x^{\circ} = 180^{\circ} - 132^{\circ} \)

\( 2x^{\circ} = 48^{\circ} \)

\( x^{\circ} = 24^{\circ} \).

Значит, \( \angle BAM = 24^{\circ} \).

Угол \( A \) треугольника \( ABC \) — это \( \angle BAM \).

Ответ: 24°.