3) В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 51° и BM = AM = MC.

Ответ: 51°

Разбираемся:

1. Так как BM = AM = MC, то треугольник BMC — равнобедренный, следовательно, углы при его основании равны, то есть ∠MBC = ∠C = 51°.

2. BM = AM, значит, треугольник ABM тоже равнобедренный, и его углы при основании AB равны, то есть ∠A = ∠ABM.

3. Угол B треугольника ABC состоит из двух углов: ∠MBC и ∠ABM, то есть ∠B = ∠MBC + ∠ABM.

4. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Запишем для треугольника ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

5. Выразим ∠B через известные углы и ∠A: ∠B = 180° - ∠A - ∠C.

6. Подставим это выражение в уравнение для угла B: 180° - ∠A - ∠C = ∠MBC + ∠ABM. Учтем, что ∠ABM = ∠A.

7. Получаем: 180° - ∠A - ∠C = ∠MBC + ∠A.

8. Подставим известные значения ∠C = 51° и ∠MBC = 51°: 180° - ∠A - 51° = 51° + ∠A.

9. Решим уравнение относительно ∠A: 2∠A = 180° - 51° - 51° = 78°.

10. Найдем ∠A: ∠A = 78° / 2 = 39°.

11. Рассмотрим треугольник $$\begin{array}{r}BMC\end{array}$$: он равнобедренный, так как $BM=MC$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, $\angle MBC={\angle }^C={51}^{\circ }$.

12. Рассмотрим треугольник $$\begin{array}{r}ABM\end{array}$$: он равнобедренный, так как $AM=BM$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, ${\angle }^A=\angle ABM$.

13. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. В треугольнике $ABM$ угол $\angle BMC$ является внешним и равен сумме двух углов, не смежных с ним, т.е. $\angle BMC={\angle }^A+\angle ABM$.

14. Тогда ${\angle }^A={\angle }^C={51}^{\circ }$.

Ответ: 51°