2.4. 2.4.1. В треугольнике АВС проведена высота СН. АВ = 4, a CH = треугольника АВС. 2.4.2. В треугольнике АВС проведена высота CH. AB = 7, a CH = 9. Найдите площад угольника АВС. 2.4.3. В треугольнике со сторонами 12 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Вы проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй сторо 2.4.4. В треугольнике со сторонами 6 и 12 проведены высоты к этим сторонам. Вы проведённая к первой стороне, равна 2. Чему равна высота, проведённая ко второй сторо 2.4.5. Две стороны треугольника равны 2 и 10, а угол между ними равен 45°. Найдит площадь. 2.4.6. Две стороны треугольника равны 8 и 6/3, а угол между ними равен 60°. Нају ромба его площадь. 2.4.7. Две стороны треугольника равны 7 и 12, а косинус угла между ними равен Найдите площадь треугольника. 2.4.8. В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а другой на 5 его больше. дите площадь треугольника. 2.4.9. В прямоугольном треугольнике один катет равен 4, а другой на 6 его больше. дите площадь треугольника. 2.4.10. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26, а один из катетов равейдите п Найдите площадь треугольника. 2.4.11. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 30, а угол, лежащий напр него, равен 45°. Найдите площадь треугольника. 2.4.12. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20, а один из острых углов идите 45°. Найдите площадь треугольника. 2.4.13. Сторона равностороннего треугольника равна 3. Найдите его площадь. 2.4.14. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25.1 дите его площадь. 2.4.15. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 меньше другой. Найдите площадь треугольника. 2.4.16. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла медиане, проведённой из того же угла. Гипотенуза этого треугольника равна 9. Найдите его пло 2.4.17. В треугольнике АВС АС = 4, cosA = -0,8, cos C = угольника АВС. 2.4.18. B

2.4.1

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\], где a - основание, h - высота, проведенная к этому основанию.

В данном случае, AB = 4 (основание), CH = \(\frac{7}{2}\) (высота).

Тогда площадь треугольника ABC равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{7}{2} = \frac{28}{4} = 7\]

Ответ: 7

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.2

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\], где a - основание, h - высота, проведенная к этому основанию.

В данном случае, AB = 7 (основание), CH = 9 (высота).

Тогда площадь треугольника ABC равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 = \frac{63}{2} = 31.5\]

Ответ: 31.5

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.3

Пусть стороны треугольника a = 12 и b = 3, высоты, проведенные к ним, соответственно h_a и h_b. По условию, h_a = 1.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b\]

Подставляем известные значения: \[\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot h_b\]

Упрощаем: \[6 = \frac{3}{2} \cdot h_b\]

Находим h_b: \[h_b = \frac{6 \cdot 2}{3} = 4\]

Ответ: 4

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.4

Пусть стороны треугольника a = 6 и b = 12, высоты, проведенные к ним, соответственно h_a и h_b. По условию, h_a = 2.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b\]

Подставляем известные значения: \[\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_b\]

Упрощаем: \[6 = 6 \cdot h_b\]

Находим h_b: \[h_b = \frac{6}{6} = 1\]

Ответ: 1

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.5

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\gamma}\], где a и b - стороны, \(\gamma\) - угол между ними.

В данном случае, a = 2, b = 10, \(\gamma\) = 45°.

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10 \cdot \sin{45°} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]

Ответ: 5\(\sqrt{2}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.6

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\gamma}\], где a и b - стороны, \(\gamma\) - угол между ними.

В данном случае, a = 8, b = 6\(\sqrt{3}\), \(\gamma\) = 60°.

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sin{60°} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 6 \cdot \frac{3}{2} = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36\]

Ответ: 36

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.7

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\gamma}\], где a и b - стороны, \(\gamma\) - угол между ними.

Дано: a = 7, b = 12, \(\cos{\gamma}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Найдем \(\sin{\gamma}\) из основного тригонометрического тождества: \[\sin^2{\gamma} + \cos^2{\gamma} = 1\] \[\sin^2{\gamma} = 1 - \cos^2{\gamma} = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\] \[\sin{\gamma} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = \frac{84}{4} = 21\]

Ответ: 21

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.8

В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а другой на 5 больше, то есть 6 + 5 = 11.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\], где a и b - катеты.

В данном случае, a = 6, b = 11.

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 11 = 33\]

Ответ: 33

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.9

В прямоугольном треугольнике один катет равен 4, а другой на 6 больше, то есть 4 + 6 = 10.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\], где a и b - катеты.

В данном случае, a = 4, b = 10.

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20\]

Ответ: 20

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.10

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26, а один из катетов равен 10.

По теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\], где c - гипотенуза, a и b - катеты.

Найдем второй катет: \[b^2 = c^2 - a^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576\] \[b = \sqrt{576} = 24\]

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\], где a и b - катеты.

В данном случае, a = 10, b = 24.

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120\]

Ответ: 120

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.11

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 30, а угол, лежащий напротив него, равен 45°.

Пусть a = 30 - катет, противолежащий углу 45°. Тогда \[\tan{45°} = \frac{a}{b}\] \[1 = \frac{30}{b}\] \[b = 30\]

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\], где a и b - катеты.

В данном случае, a = 30, b = 30.

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 = 450\]

Ответ: 450

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.12

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20, а один из острых углов равен 45°.

Так как один из острых углов равен 45°, то второй острый угол тоже равен 45° (90° - 45° = 45°). Значит, треугольник равнобедренный, и катеты равны.

По теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\], где c - гипотенуза, a и b - катеты. Так как a = b, то \[2a^2 = c^2\] \[2a^2 = 20^2 = 400\] \[a^2 = 200\] \[a = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\]

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\], где a и b - катеты.

В данном случае, a = 10\(\sqrt{2}\), b = 10\(\sqrt{2}\).

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 2 = 100\]

Ответ: 100

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.13

Сторона равностороннего треугольника равна 3.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\], где a - сторона.

В данном случае, a = 3.

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\]

Ответ: \(\frac{9\sqrt{3}}{4}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.14

Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25.

Пусть a - боковая сторона, b - основание. Тогда P = 2a + b.

В данном случае, P = 90, a = 25. Значит, 90 = 2 \(\cdot\) 25 + b. \[90 = 50 + b\] \[b = 90 - 50 = 40\]

Найдем высоту, проведенную к основанию. Она также является медианой и делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, половиной основания и высотой.

По теореме Пифагора: \[h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2\] \[h^2 + (\frac{40}{2})^2 = 25^2\] \[h^2 + 20^2 = 625\] \[h^2 + 400 = 625\] \[h^2 = 225\] \[h = \sqrt{225} = 15\]

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\], где b - основание, h - высота, проведенная к этому основанию.

В данном случае, b = 40, h = 15.

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 = 20 \cdot 15 = 300\]

Ответ: 300

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.15

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 меньше другого.

Пусть a и b - катеты, c - гипотенуза. Тогда a = b - 2, c = 10.

По теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\] \[(b - 2)^2 + b^2 = 10^2\] \[b^2 - 4b + 4 + b^2 = 100\] \[2b^2 - 4b - 96 = 0\] \[b^2 - 2b - 48 = 0\]

Решим квадратное уравнение: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\] \[b_1 = \frac{2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8\] \[b_2 = \frac{2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{2 - 14}{2} = -6\]

Так как длина катета не может быть отрицательной, то b = 8. Тогда a = b - 2 = 8 - 2 = 6.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\], где a и b - катеты.

В данном случае, a = 6, b = 8.

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\]

Ответ: 24

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.16

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна медиане, проведённой из того же угла. Гипотенуза этого треугольника равна 9.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, высота также равна половине гипотенузы.

Тогда высота равна \[h = \frac{9}{2} = 4.5\]

Также известно, что в прямоугольном треугольнике \(h = \frac{ab}{c}\), где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Тогда \(\frac{ab}{9} = 4.5\), откуда \(ab = 4.5 \cdot 9 = 40.5\).

Площадь прямоугольного треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

В данном случае, \(ab = 40.5\).

Тогда площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 40.5 = 20.25\]

Ответ: 20.25

Ты молодец! У тебя всё получится!

---

2.4.17

В треугольнике АВС AC = 4, cosA = -0.8, cosC = \(\frac{8}{\sqrt{73}} \)

Найдем \(\sin A\) и \(\sin C\) из основного тригонометрического тождества: \[\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (-0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36\] \[\sin A = \sqrt{0.36} = 0.6\] \[\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (\frac{8}{\sqrt{73}})^2 = 1 - \frac{64}{73} = \frac{9}{73}\] \[\sin C = \sqrt{\frac{9}{73}} = \frac{3}{\sqrt{73}}\]

По теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\). Найдём \(BC\) используя \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\). Но сначала найдём \(\sin B\). \[B = 180 - (A + C)\]

По формуле приведения: \(\sin B = \sin(180 - (A + C)) = \sin(A + C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C = 0.6 \cdot \frac{8}{\sqrt{73}} + (-0.8) \cdot \frac{3}{\sqrt{73}} = \frac{4.8 - 2.4}{\sqrt{73}} = \frac{2.4}{\sqrt{73}}\[/p>

Теперь \(\frac{4}{\frac{2.4}{\sqrt{73}}} = \frac{BC}{0.6}\), отсюда \(BC = \frac{4 \cdot 0.6 \cdot \sqrt{73}}{2.4} = \sqrt{73}\)

Теперь площадь \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{73} \cdot \frac{3}{\sqrt{73}} = 6\)

Ответ: 6

Ты молодец! У тебя всё получится!

---