В треугольнике АВС проведена медиана АМ (см. рис.), длина которой равна СМ. Угол АВС равен 40°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

1. Обозначим угол АСВ как x.

   Так как АМ = СМ, то треугольник АМС равнобедренный, и углы при основании равны, то есть угол МАС равен углу АСМ: \[\angle MAC = \angle ACB = x\]

2. Угол АМВ является внешним углом треугольника АМС и равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

   \[\angle AMB = \angle MAC + \angle ACB = x + x = 2x\]

3. Рассмотрим треугольник АМВ. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно:

   \[\angle MAB + \angle AMB + \angle MBA = 180^\circ\]

   Подставим известные значения:

   \[\angle MAB + 2x + 40^\circ = 180^\circ\] \[\angle MAB = 180^\circ - 40^\circ - 2x = 140^\circ - 2x\]

4. Теперь рассмотрим треугольник АВС. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно:

   \[\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\]

   Угол ВАС состоит из углов МАС и МАВ:

   \[\angle BAC = \angle MAC + \angle MAB = x + 140^\circ - 2x = 140^\circ - x\]

   Подставим известные значения в уравнение для треугольника АВС:

   \[140^\circ - x + 40^\circ + x = 180^\circ\]
5. Решим уравнение относительно x: \[180^\circ = 180^\circ\]

   Это уравнение не позволяет нам напрямую найти x, так как x сокращается. Однако мы знаем, что АМ = СМ и ВМ = СМ, так как АМ - медиана. Следовательно, АМ = ВМ = СМ, и точка М - центр описанной окружности около треугольника АВС, а АВ - диаметр этой окружности. Это значит, что угол АСВ опирается на диаметр, и следовательно, он прямой.

   \[\angle ACB = 90^\circ\]

Ответ: 90