В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АН = 54, BC = BM. Найдите длину стороны АС.

Обозначим AH = 54, BC = BM.

Пусть BH - высота, а BM - медиана треугольника ABC. Так как BC = BM, то треугольник BCM - равнобедренный.

Пусть углы при основании CM равны α. Тогда ∠BCM = ∠BMC = α.

Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, так как BH - высота. Тогда ∠ABH = 90° - ∠BAH.

Так как BM - медиана, то AM = MC.

Обозначим AC = 2x, тогда AM = MC = x.

Рассмотрим треугольник BHC. Угол BHC прямой, значит, BH - высота. Известно, что BC = BM.

Так как AH = 54, то AC = AH + HC или 2x = 54 + HC.

Нужно найти длину стороны AC.

1. Рассмотрим треугольник BCM. Он равнобедренный (BC = BM), значит углы при основании CM равны: уг. BCM = уг. BMC = a.

2. Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный (BH - высота), значит уг. ABH = 90 - уг. BAH.

3. Т.к. BM - медиана, то AM = MC.

4. Обозначим AC = 2x, тогда AM = MC = x.

5. Рассмотрим треугольник BHC. Угол BHC прямой, значит, BH - высота.

6. Т.к. AH = 54, то AC = AH + HC или 2x = 54 + HC.

Поскольку BC = BM, то треугольник BCM – равнобедренный с углами при основании CM, равными α. Значит ∠BCM = ∠BMC = α.

В прямоугольном треугольнике ABH, ∠ABH = 90° − ∠BAH.

Так как BM – медиана, AM = MC. Обозначим AC = 2x, тогда AM = MC = x.

Также в прямоугольном треугольнике BHC, BH – высота, и AH = 54, значит AC = AH + HC, то есть 2x = 54 + HC.

Пусть HC = y. Тогда 2x = 54 + y, и x = (54 + y) / 2. То есть MC = (54 + y) / 2.

По условию BC = BM. Тогда треугольник BCM – равнобедренный, и углы при основании CM равны. Обозначим их α.

∠BCM = ∠BMC = α.

Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный, и ∠BCH = α. Тогда ∠CBH = 90° − α.

Так как BM – медиана, AM = MC. Пусть AC = 2x, тогда AM = MC = x. Также AH = 54, значит HC = 2x − 54.

Рассмотрим треугольник BHC. В нем ∠BHC = 90°, ∠BCH = α, и HC = 2x − 54.

Теперь рассмотрим треугольник ABH. В нем ∠AHB = 90°, AH = 54, и нужно найти AB.

По теореме Пифагора, AB^2 = AH^2 + BH^2.

Также, BC = BM. Значит, треугольник BCM – равнобедренный, и ∠BCM = ∠BMC = α.