10 В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АН = 54, ВС = ВМ. Найдите длину стороны АС.

Решение:

1. Поскольку BM - медиана, AM = MC. Пусть AM = MC = x. Тогда AC = 2x.
2. Так как BH - высота, треугольник ABH - прямоугольный.
3. Дано, что BC = BM. Обозначим BC = BM = y.
4. Рассмотрим треугольник BHC. По теореме Пифагора:

\[BH^2 + HC^2 = BC^2\]

5. Рассмотрим треугольник BHA. По теореме Пифагора:

\[BH^2 + AH^2 = AB^2\]

6. Мы знаем, что AH = 54. Значит:

\[BH^2 + 54^2 = AB^2\]

7. Так как BM = BC, треугольник BMC - равнобедренный. BH является высотой, а значит, и медианой.
8. Следовательно, HC = MC = x.
9. Тогда BC² = BH² + HC² = BH² + x². Так как BC = BM = y, y² = BH² + x².
10. В треугольнике ABH: AB² = BH² + AH² = BH² + 54².
11. Рассмотрим треугольник ABM. AM = x, BM = y, AB - неизвестно.
12. Применим теорему Стюарта к треугольнику ABC и медиане BM:

\[AB^2 \cdot MC + BC^2 \cdot AM = AC \cdot (BM^2 + AM \cdot MC)\] \[AB^2 \cdot x + y^2 \cdot x = 2x \cdot (y^2 + x^2)\] \[AB^2 + y^2 = 2(y^2 + x^2)\] \[AB^2 = 2y^2 + 2x^2 - y^2\] \[AB^2 = y^2 + 2x^2\]

13. Мы знаем, что AB² = BH² + 54² и y² = BH² + x². Подставим:

\[BH^2 + 54^2 = BH^2 + x^2 + 2x^2\] \[54^2 = 3x^2\] \[3x^2 = 54^2 = 2916\] \[x^2 = \frac{2916}{3} = 972\] \[x = \sqrt{972} = 18\sqrt{3}\]

14. Тогда AC = 2x:

\[AC = 2 \cdot 18\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\]

Ответ:

\[36\sqrt{3}\]