В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АН = 54, ВС = ВМ. Найдите длину стороны АС.

В треугольнике BHC, BC = BM. Так как BM - медиана, то AM = MC. В прямоугольном треугольнике BNH, BH^2 = BC^2 - NH^2. В прямоугольном треугольнике ABH, BH^2 = AB^2 - AH^2. Следовательно, BC^2 - NH^2 = AB^2 - AH^2. Так как BC = BM, то BC^2 = BM^2. В треугольнике ABM, BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2*AB*AM*cos(A). В треугольнике ABC, BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cos(A). Так как BC = BM, то AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cos(A) = AB^2 + AM^2 - 2*AB*AM*cos(A). AC^2 - 2*AB*AC*cos(A) = AM^2 - 2*AB*AM*cos(A). AC^2 - AM^2 = 2*AB*cos(A)*(AC - AM). (AC - AM)(AC + AM) = 2*AB*cos(A)*(AC - AM). Если AC != AM, то AC + AM = 2*AB*cos(A). AC = AH + HC. AM = AC/2. AC + AC/2 = 2*AB*cos(A). 3*AC/2 = 2*AB*cos(A). AC = 4/3 * AB*cos(A). В прямоугольном треугольнике ABH, cos(A) = AH/AB. AC = 4/3 * AB * (AH/AB) = 4/3 * AH. AC = 4/3 * 54 = 72.