В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 2 и ВС = ВМ. Найдите АН.

В треугольнике BCM, BC = BM, значит, он равнобедренный. Угол BCM = Угол BMC. Так как BM - медиана, MC = AM = AC/2 = 2/2 = 1. В прямоугольном треугольнике BHM, BH = MC = 1. В прямоугольном треугольнике ABH, AH^2 = AB^2 - BH^2. В треугольнике BCM, по теореме косинусов: BC^2 = BM^2 + MC^2 - 2*BM*MC*cos(BMC). Так как BC=BM, 0 = MC^2 - 2*BM*MC*cos(BMC). Значит, cos(BMC) = MC/(2*BM) = 1/(2*BC). В треугольнике BHM, BH = BM*sin(BMC), HM = BM*cos(BMC). В треугольнике ABH, AH = AC - HC = 2 - HC. В треугольнике BHC, BC^2 = BH^2 + HC^2. В треугольнике ABM, AM = 1. По теореме косинусов для треугольника ABM: AB^2 = BM^2 + AM^2 - 2*BM*AM*cos(BMC). AB^2 = BC^2 + 1 - 2*BC*(1/(2*BC)) = BC^2 + 1 - 1 = BC^2. Значит AB = BC. В треугольнике ABH, AH^2 = AB^2 - BH^2. В треугольнике BHC, BC^2 = BH^2 + HC^2. Так как AB=BC, AH^2 = BC^2 - BH^2 = HC^2. Значит AH = HC. Так как AC = AH + HC = 2, то AH = HC = 1.