5. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС=10 и ВС=ВМ. Найдите АН.

Поскольку ВМ - медиана, она делит сторону АС пополам. Значит, АМ = МС = АС/2 = 10/2 = 5. Так как ВС = ВМ, треугольник ВМС - равнобедренный, и углы при его основании равны: ∠ВМС = ∠ВСМ. Высота ВН перпендикулярна стороне АС, следовательно, треугольник ВНС - прямоугольный. К сожалению, информации недостаточно, чтобы однозначно определить длину АН. Чтобы найти АН, нужно знать либо угол ∠ВСА (или ∠ВСМ), либо длину стороны АВ, либо какое-то дополнительное условие, связывающее положение точки Н на стороне АС. Предположим, что треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Тогда высота ВН является и медианой. В этом случае АН = НС = АС/2 = 5. **Если АВС - равнобедренный с основанием АС, то АН = 5.** Без дополнительной информации невозможно точно определить длину АН.