В треугольнике АВС проведены медианы АМ и ВК. Найдите длины сторон и периметр треугольника АВС, если ВМ = 6 см, АК = 9 см, МК = 4 см.

Решение:

Дано: Треугольник АВС. AM и BK — медианы. BM = 6 см, AK = 9 см, MK = 4 см.

Найдем: AB, AC, BC, P(ABC).

1. Находим длину стороны BC:
   BM — половина стороны BC, так как AM — медиана. Но BM = 6 см, значит, BC = 2 * BM = 2 * 6 = 12 см.
2. Находим длину стороны AB:
   BK — медиана, поэтому K — середина стороны AC. AK = KC = 9 см. AC = AK + KC = 9 + 9 = 18 см.
3. Находим длину стороны AB:
   MK — средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон AC (точка K) и BC (точка M). Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, MK = AB / 2.
   AB = 2 * MK = 2 * 4 = 8 см.
4. Находим периметр треугольника ABC:
   Периметр P(ABC) = AB + BC + AC.
   P(ABC) = 8 см + 12 см + 18 см = 38 см.

Ответ: AB = 8 см; AC = 18 см; BC = 12 см; P(ABC) = 38 см.