25. В треугольнике АВС. проведены отрезки ВМ к стороне АС и AF к стороне ВС. Данные отрезки пересекаются в точке Т. Найди отношение площади четырёхугольника TFCM к площади треугольника АТВ, если АM = CM, ∠CAF = ∠BAF, AB : AC = 1 : 4. Запиши ответ через двоеточие без пробелов. Например, 1:2.

Обозначим площадь треугольника АВС за S.

Поскольку AM = MC, то BM - медиана треугольника АВС. Значит, площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC, то есть $$S_{ABM} = \frac{1}{2} S$$.

Поскольку ∠CAF = ∠BAF, то AF - биссектриса треугольника АВС. По свойству биссектрисы треугольника, $$\frac{BF}{FC} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{4}$$.

Тогда $$BF = \frac{1}{5} BC$$ и $$FC = \frac{4}{5} BC$$.

Используем теорему Менелая для треугольника BCM и прямой AF:

$$\frac{BA}{AC} \cdot \frac{CF}{FM} \cdot \frac{MT}{TB} = 1$$

По условию AB : AC = 1 : 4, значит, BA/AC = 1/4. Также AM = MC, значит, MC = AC/2. Тогда FM = AM - AF = AC/2 - AF.

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{4}{5}BC}{AM} \cdot \frac{MT}{TB} = 1$$

Поскольку AM = CM, то $$AM = \frac{1}{2}AC$$

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{4}{5}BC}{\frac{1}{2}AC} \cdot \frac{AT}{TC} = 1$$

Тогда, $$\frac{MT}{TB} = \frac{5}{2}$$

Следовательно, $$\frac{BT}{BM} = \frac{2}{7}$$

Площадь треугольника ATB составляет $$\frac{2}{7}$$ от площади треугольника ABM.

$$S_{ATB} = \frac{2}{7} S_{ABM} = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2} S = \frac{1}{7} S$$

Площадь треугольника AFC составляет $$\frac{4}{5}$$ от площади треугольника ABC.

$$S_{AFC} = \frac{4}{5} S$$

Площадь треугольника AMC составляет $$\frac{1}{2}$$ от площади треугольника ABC.

$$S_{AMC} = \frac{1}{2} S$$

Поскольку $$\frac{AT}{AF} = \frac{AT}{AT+TF} = \frac{7}{5}$$, то $$\frac{TF}{AF} = \frac{2}{5}$$

Площадь треугольника TFC составляет $$\frac{2}{5}$$ от площади треугольника AFC.

$$S_{TFC} = \frac{2}{5}S_{AFC} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{5} S = \frac{8}{25} S$$

Площадь четырехугольника TFCM равна $$S_{TFCM} = S_{TFC} + S_{AMC} = \frac{8}{25} S + \frac{1}{2} S = \frac{16 + 25}{50} S = \frac{41}{50} S$$

Отношение площади четырехугольника TFCM к площади треугольника ATB равно:

$$\frac{S_{TFCM}}{S_{ATB}} = \frac{\frac{41}{50} S}{\frac{1}{7} S} = \frac{41}{50} \cdot 7 = \frac{287}{50}$$

Ответ нужно записать в виде отношения через двоеточие без пробелов.

$$\frac{287}{50} = 287 : 50$$

Ответ: 287:50