3. В треугольнике АВС (рис. 3) проведен отрезок MK так, что ZABC = ZAKM, AM = 10 см, АК = 12 см, КС = 3 см. Найдите длину отрезка МВ. 4. На рисунке 4 СК = 8 см, КВ = 4 см, МВ = 5 см. Найдите площадь четырехугольника АМКС. 5. Дана трапеция ABCD (AD || BC), диагонали трапеции пересекаются в точке O, Sвос = 4 см², SCOD = 8 см². Найдите площадь трапеции.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника ABC.

Так как треугольник ABC прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (8 + 4) \cdot (5 + 4) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54 \,\text{см}^2\]

Шаг 2: Найдем площадь треугольника MBK.

Так как треугольник MBK прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:

\[S_{MBK} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot KB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10 \,\text{см}^2\]

Шаг 3: Найдем площадь четырехугольника AMKC.

\[S_{AMKC} = S_{ABC} - S_{MBK} = 54 - 10 = 44 \,\text{см}^2\]

Шаг 1: Найдем площадь треугольника AOD.

Треугольники BOC и AOD подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2\]

Площади треугольников COD и BOC имеют одинаковую высоту, следовательно, их площади относятся как длины оснований:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{COD}} = \frac{BO}{OD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]

Значит, \[\frac{BO}{OD} = \frac{1}{2}\] является коэффициентом подобия треугольников BOC и AOD.

Теперь найдем площадь треугольника AOD:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\]

\[S_{AOD} = 4 \cdot S_{BOC} = 4 \cdot 4 = 16 \,\text{см}^2\]

Шаг 2: Найдем площадь трапеции.

Площадь трапеции равна сумме площадей всех четырех треугольников:

\[S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} + S_{AOB}\]

Площади треугольников AOB и COD равны, так как треугольники ABC и ABD равновелики (имеют общее основание и равные высоты), а значит:

\[S_{AOB} = S_{COD} = 8 \,\text{см}^2\]

Площадь трапеции:

\[S_{ABCD} = 4 + 8 + 16 + 8 = 36 \,\text{см}^2\]

Второй способ нахождения площади трапеции:

Площадь трапеции можно также вычислить по формуле:

\[S_{ABCD} = (\sqrt{S_{BOC}} + \sqrt{S_{AOD}})^2\]

\[S_{ABCD} = (\sqrt{4} + \sqrt{16})^2 = (2 + 4)^2 = 6^2 = 36 \,\text{см}^2\]