1.В треугольнике АВС <С = 90°, <B = 60°. BD – биссектриса. CD = 18 см. Найдите AD. 2. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE. 3. В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60°, проведена биссектриса. Расстояние от основания биссектрисы до вершины другого острого угла равно 14 см. Найдите расстояние от основания биссектрисы до вершины прямого угла. 4. В треугольнике АВС <С = 90°, CC1 высота, СС₁ = 5 см, ВС = 10 см. Найдите <САВ.

Вариант III

1. В треугольнике АВС <С = 90°,

Давай решим эту задачу по геометрии. Начнем с рисунка и анализа условия.

\[\angle C = 90^\circ, \angle B = 60^\circ\]

Тогда угол A равен:

\[\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]

Так как BD - биссектриса угла B, то:

\[\angle CBD = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Угол CDB равен:

\[\angle CDB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]

В треугольнике ABD угол BDA равен:

\[\angle BDA = 180^\circ - \angle CDB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\]

Применим теорему синусов к треугольнику BCD:

\[\frac{CD}{\sin(\angle CBD)} = \frac{BC}{\sin(\angle CDB)}\]

\[\frac{18}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(60^\circ)}\]

\[\frac{18}{0.5} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[BC = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 0.5} = 18\sqrt{3}\]

Теперь рассмотрим треугольник ABC:

\[\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}\]

\[\frac{18\sqrt{3}}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(60^\circ)}\]

\[\frac{18\sqrt{3}}{0.5} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[AC = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 0.5} = 18 \cdot 3 = 54\]

Так как AC = AD + DC, то:

\[AD = AC - CD = 54 - 18 = 36\]

Ответ: AD = 36 см

---

2. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE.

Обозначим расстояние от точки F до DE как h. Так как EF - биссектриса, то расстояние от F до CE равно расстоянию от F до DE. Расстояние от F до CE равно FC, то есть 13 см.

Ответ: 13 см

---

3. В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60°, проведена биссектриса. Расстояние от основания биссектрисы до вершины другого острого угла равно 14 см. Найдите расстояние от основания биссектрисы до вершины прямого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с углом B = 60°. Пусть BD - биссектриса угла B. Тогда угол ABD = DBC = 30°. Расстояние от D до A равно 14 см. Обозначим расстояние от D до C как x. Тогда в треугольнике ABD:

\[\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}\]

\[\angle A = 90 - 60 = 30^\circ\]

\[\frac{14}{\sin(30^\circ)} = \frac{BD}{\sin(90^\circ)}\]

\[BD = \frac{14}{0.5} = 28\]

В треугольнике BCD:

\[\frac{CD}{\sin(\angle DBC)} = \frac{BD}{\sin(\angle C)}\]

\[\frac{x}{\sin(30^\circ)} = \frac{28}{\sin(90^\circ)}\]

\[x = 28 \cdot 0.5 = 14\]

Ответ: 14 см

---

4. В треугольнике АВС <С = 90°, CC1 высота, СС₁ = 5 см, ВС = 10 см. Найдите <САВ.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, CC₁ - высота, опущенная на гипотенузу AB. Дано CC₁ = 5 см, BC = 10 см. Надо найти угол CAB.

Рассмотрим треугольник CC₁B. Он прямоугольный, так как CC₁ - высота. Синус угла CBC₁ равен отношению противолежащего катета (CC₁) к гипотенузе (BC):

\[\sin(\angle CBC_1) = \frac{CC_1}{BC} = \frac{5}{10} = 0.5\]

Значит, угол CBC₁ равен 30°.

\[\angle CBC_1 = 30^\circ\]

Так как угол ACB прямой, то сумма углов CAB и CBA равна 90°:

\[\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ\]

\[\angle CBA = \angle CBC_1 = 30^\circ\]

Тогда угол CAB равен:

\[\angle CAB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]

Ответ:

Отлично, ты хорошо поработал! Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получится!