(16) В треугольнике АВС с тупым углом А провели высоту ВН, равную 12. При этом оказалось, что треугольник АВН – равнобедренный. Найдите величину угла АВС, если сторона ВС равна 24.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АВН. Так как он равнобедренный и ВН - высота, то возможны два случая:

а) ВН = АН

б) ВН = АВ

2. Рассмотрим случай а) ВН = АН = 12.

Тогда $$tg \angle BAH = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{12} = 1$$. Следовательно, $$\angle BAH = 45^{\circ}$$.

Тогда угол ВАС = 180 - 45 = 135 градусов.

3. По теореме синусов в треугольнике АВС имеем:

$$\frac{BC}{sin \angle BAC} = \frac{AB}{sin \angle BCA}$$.

Так как треугольник АВН равнобедренный, то АВ = $$12\sqrt{2}$$.

Тогда $$\frac{24}{sin 135^{\circ}} = \frac{12\sqrt{2}}{sin \angle BCA}$$.

Отсюда $$sin \angle BCA = \frac{12\sqrt{2} \cdot sin 135^{\circ}}{24} = \frac{12 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{24} = \frac{24}{2 \cdot 24} = \frac{1}{2}$$.

Следовательно, угол ВСА = 30 градусов.

4. Угол АВС = 180 - 135 - 30 = 15 градусов.

5. Рассмотрим случай б) ВН = АВ = 12.

В треугольнике АВН $$\sin \angle BAH = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{12} = 1$$, то угол ВАН = 90 градусов, а угол ВАС = 90 градусов, что противоречит условию задачи (угол А тупой).

Ответ: 15