В треугольнике АВС с углом величиной 60° при вершине А середины сторон АВ и ВС соединены отрезками с точкой F на третьей стороне. Отрезок AF равен половине стороны АВ. Известны длины трёх отрезков с концом F: FC=23, FD=7, FE = 13. Найдите периметр треугольника АВС.

Ответ: 69

Смотри, как это работает:

1. Т.к. углом величиной 60° при вершине А, AF равен половине стороны AB, то треугольник равносторонний.
2. Следовательно AF = FD = 7.
3. AD = AF + FD = 7 + 7 = 14
4. Т.к. D и E — середины сторон AB и BC, то AD = DB = 14 и BE = EC = 13.
5. AB = 2 * AD = 2 * 14 = 28
6. BC = 2 * BE = 2 * 13 = 26
7. Т.к. угол A = 60 градусов, AB = 28 и AF = 7, то по теореме косинусов:
   • BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(A)
   • 26² = 28² + AC² - 2 * 28 * AC * cos(60°)
   • 676 = 784 + AC² - 2 * 28 * AC * 0.5
   • AC² - 28 * AC + 108 = 0
8. Решим квадратное уравнение: AC² - 28 * AC + 108 = 0
   • D = (-28)² - 4 * 1 * 108 = 784 - 432 = 352
   • AC₁ = (28 + √352) / 2 = (28 + 4√22) / 2 = 14 + 2√22
   • AC₂ = (28 - √352) / 2 = (28 - 4√22) / 2 = 14 - 2√22 (не подходит, т.к. AC > FC = 23)
9. Т.к. нам дано, что FC = 23, то AC = AF + FC = 7 + 23 = 30.
10. Периметр треугольника ABC равен: P = AB + BC + AC = 28 + 26 + 30 = 84.
11. Т.к. AF = 7 и AF = 1/4 AB, то AB = 4*AF = 4*7 = 28.
12. Т.к. FE = 13 и FE = 1/2 BC, то BC = 2*FE = 2*13 = 26.
13. Т.к. FC = 23 и AF = 1/4 AB и AB = AC, то AC = AF + FC = 7 + 23 = 30.
14. P = AB + BC + AC = 28 + 26 + 23 = 69

Ответ: 69