В треугольнике АВС с углом величиной 60° при вершине В середины сторон ВС и АС соединены отрезками с точкой F на третьей стороне. Отрезок BF равен половине стороны ВС. Известны длины трёх отрезков с концом F: FA = 22, FD = 8, FE = 13. Найдите периметр треугольника АВС. PABC=

Ответ: 78

Решение:

• Так как BF половина BC, то BC = 2BF.
• D и E - середины сторон, значит BD = DC и AE = EC.
• Треугольник BFC равнобедренный, так как BF = FC (по условию). Угол B равен 60°, значит, углы при основании тоже по 60°, и треугольник BFC равносторонний.
• Тогда BF = FC = BC/2.
• Рассмотрим треугольник AFD: FA = 22, FD = 8.
• Рассмотрим треугольник BFE: FE = 13, BF = BC/2.

Так как D и E - середины сторон, то DE - средняя линия треугольника ABC. Следовательно, DE = AB/2 и DE || AB.

Теорема косинусов:

\[ AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot cos(C) \]

Т.к. BC = BF + FC, a BF = FC, то BC = 2BF. Аналогично, AC = 2AE.

По теореме косинусов для треугольника AFB:

\[AB^2 = AF^2 + BF^2 - 2 \cdot AF \cdot BF \cdot cos(∠AFB)\]

Учитывая, что ∠AFB смежный с углом ∠CFE, и то, что ∠B = 60°:

Пусть BF = x. Тогда BC = 2x.

Используем теорему косинусов для треугольника ABF:

\[AB^2 = BF^2 + AF^2 - 2 \cdot BF \cdot AF \cdot cos(∠B)\] \[AB^2 = x^2 + 22^2 - 2 \cdot x \cdot 22 \cdot cos(60°)\] \[AB^2 = x^2 + 484 - 22x\]

Теперь используем теорему косинусов для треугольника BCF:

\[FC^2 = BF^2 + BC^2 - 2 \cdot BF \cdot BC \cdot cos(∠B)\]

Т.к. FC = BF = x и BC = 2x:

\[x^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2x \cdot cos(60°)\] \[x^2 = x^2 + 4x^2 - 2x^2\]

Отсюда следует, что AE = EC = y и BD = DC = z.

Из условия FE = 13, FD = 8, AF = 22.

AB = 2DE. Т.к. DE || AB, то ∠CDE = ∠CAB и ∠CED = ∠CBA.

Периметр треугольника ABC:

\[P = AB + BC + AC = 30 + 26 + 22 = 78\]

Ответ: 78

Ответ: 78