В треугольнике АВС сторона АВ = 3,5 см, сторона ВС = 4, 5 см, сторона АС = 6 см, а в треугольнике MNK сторона MN = 7 см, сторона NK = 9 см, сторона МК = 12 см. Найди углы треугольника MNK, если ∠A = 75°, ∠B = 62°.

Решение:

Сначала найдем угол \( \angle C \) в треугольнике \( \triangle ABC \):

\[ \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 62^{\circ} = 43^{\circ} \]

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для нахождения углов в \( \triangle MNK \).

Найдем угол \( \angle M \) напротив стороны \( NK \):

\[ NK^2 = MN^2 + MK^2 - 2 \cdot MN \cdot MK \cdot \cos(\angle M) \]

\[ 9^2 = 7^2 + 12^2 - 2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot \cos(\angle M) \]

\[ 81 = 49 + 144 - 168 \cdot \cos(\angle M) \]

\[ 81 = 193 - 168 \cdot \cos(\angle M) \]

\[ 168 \cdot \cos(\angle M) = 193 - 81 \]

\[ 168 \cdot \cos(\angle M) = 112 \]

\[ \cos(\angle M) = \frac{112}{168} = \frac{2}{3} \approx 0.6667 \]

\[ \angle M = \arccos(\frac{2}{3}) \approx 48.19^{\circ} \]

Найдем угол \( \angle N \) напротив стороны \( MK \):

\[ MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot \cos(\angle N) \]

\[ 12^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(\angle N) \]

\[ 144 = 49 + 81 - 126 \cdot \cos(\angle N) \]

\[ 144 = 130 - 126 \cdot \cos(\angle N) \]

\[ 126 \cdot \cos(\angle N) = 130 - 144 \]

\[ 126 \cdot \cos(\angle N) = -14 \]

\[ \cos(\angle N) = \frac{-14}{126} = -\frac{1}{9} \approx -0.1111 \]

\[ \angle N = \arccos(-\frac{1}{9}) \approx 96.38^{\circ} \]

Проверим сумму углов:

\[ \angle M + \angle N + \angle K = 180^{\circ} \]

\[ \angle K = 180^{\circ} - \angle M - \angle N \approx 180^{\circ} - 48.19^{\circ} - 96.38^{\circ} = 35.43^{\circ} \]

Ответ: \( \angle M \approx 48.19^{\circ} \), \( \angle N \approx 96.38^{\circ} \), \( \angle K \approx 35.43^{\circ} \).