670 В треугольнике АВС сторона АВ равна а, а высота СН рав- на һ. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС так, что две соседние вершины квадрата лежат на сторо- не АВ, а две другие соответственно на сторонах АС и ВС.

Пусть сторона квадрата равна x.

Треугольник, образованный верхней стороной квадрата и вершиной C, подобен исходному треугольнику ABC.

Высота этого маленького треугольника равна h - x.

Из подобия треугольников следует пропорция:

$$ \frac{h-x}{h} = \frac{x}{a} $$

Решим уравнение относительно x:

$$ a(h - x) = hx $$ $$ ah - ax = hx $$ $$ ah = hx + ax $$ $$ ah = x(h + a) $$ $$ x = \frac{ah}{a + h} $$

Таким образом, сторона квадрата равна $$\frac{ah}{a + h}$$.

Ответ: $$\frac{ah}{a + h}$$