В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. Медиана AD образует со стороной АВ угол в 20°. Чему равен угол С данного треугольника?

Раз треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то углы при основании равны: ∠B = ∠C. Нам нужно найти величину ∠C.

Медиана AD делит сторону BC пополам, то есть BD = DC.

Обозначим ∠BAD = 20°. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BAC = 180° - 2∠C. Пусть ∠ADB = x, тогда ∠ADC = 180° - x.

Рассмотрим треугольник ABD. В нём ∠ABD = ∠C, ∠BAD = 20°, ∠ADB = x. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$$ ∠C + 20° + x = 180° $$ $$ x = 180° - ∠C - 20° $$ $$ x = 160° - ∠C $$

Рассмотрим треугольник ADC. В нём ∠ACD = ∠C, ∠DAC = 180° - 2∠C - 20° = 160° - 2∠C, ∠ADC = 180° - x. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$$ ∠C + (160° - 2∠C) + (180° - x) = 180° $$ $$ 160° - ∠C + 180° - x = 180° $$ $$ 160° - ∠C = x $$

Теперь у нас есть два уравнения для x:

$$ x = 160° - ∠C $$ $$ x = 160° - ∠C $$

Подставим первое уравнение во второе:

$$ 160° - ∠C = 160° - ∠C $$

Получаем, что угол C равен 80 градусам. Давайте пересчитаем углы, чтобы убедиться:

∠C = 80°

∠B = 80°

∠A = 180° - 80° - 80° = 20°

∠BAD = 20°

∠DAC = 60°

∠ADB = 160° - 80° = 80°

∠ADC = 180° - 80° = 100°

Это возможно.

Ответ: 80°