В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. На стороне АC взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками А и У и АХ = BX = BY. Найдите ∠CBY, если ∠XBY = 16°.

Решение:

1. Так как \(AB = AC\), то \(\triangle ABC\) — равнобедренный, и \(\angle ABC = \angle ACB\).
2. По условию, \(AX = BX\), значит, \(\triangle ABX\) — равнобедренный, и \(\angle BAX = \angle ABX\).
3. Также, \(BX = BY\), значит, \(\triangle BXY\) — равнобедренный, и \(\angle BXY = \angle BYX\).
4. Обозначим \(\angle CBY = x\). Тогда \(\angle ABX = \angle ABC - x\).
5. Так как \(\angle XBY = 16^\circ\), то \(\angle BYX = \frac{180^\circ - 16^\circ}{2} = 82^\circ\).
6. \(\angle BXA\) — внешний угол для \(\triangle BXC\), поэтому \(\angle BXA = \angle XBY + \angle BYX = x + \angle C\).
7. Так как \(\angle BXA = 180^\circ - 2\angle ABX = 180^\circ - 2(\angle C + x)\).
8. \(\angle C = \frac{180^\circ - 2(\angle C + x)}{2}\) (внешний угол равен сумме двух несмежных с ним углов).
9. \(\angle ABX = \angle C + x\), следовательно, \(\angle BAC = 180^\circ - 2(\angle C + x)\).
10. Так как \(\angle AXB = \angle BXY + \angle XYC\), то \(\angle AXB = 82^\circ + \angle XYC\).
11. \(\angle ABX = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2}\) (углы при основании равнобедренного треугольника).
12. Значит, \(\frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - 2(\angle C + x))}{2}\).
13. \(\angle ABC = \angle C + x = \angle BAC\).
14. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и выразим сумму углов: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).
15. Получаем: \(180^\circ - 2(\angle C + x) + 2(\angle C + x) = 180^\circ\).
16. Выразим \(\angle C\): \(2\angle C + 16^\circ = \angle BYX\), следовательно, \(\angle BYX = 82^\circ + x\).
17. Так как \(\angle BYX = 90^\circ - \frac{x}{2}\) (углы при основании равнобедренного треугольника), то \(2 \cdot 16 = 32^\circ\).

Ответ: 32°