В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. На стороне АС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками А и У и АХ = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠XBY = 4°. Запишите решение и ответ.

Рассмотрим треугольник BXY. Так как BX = BY, то треугольник BXY равнобедренный, и углы при основании равны: ∠BXY = ∠BYX.

Сумма углов треугольника BXY равна 180°, поэтому:

$$∠XBY + ∠BXY + ∠BYX = 180°$$

$$4° + ∠BXY + ∠BXY = 180°$$

$$2∠BXY = 180° - 4°$$

$$2∠BXY = 176°$$

$$∠BXY = 88°$$

Смежные углы в сумме дают 180°. Угол BXY и угол BXA смежные, поэтому:

$$∠BXA + ∠BXY = 180°$$

$$∠BXA = 180° - ∠BXY$$

$$∠BXA = 180° - 88°$$

$$∠BXA = 92°$$

Рассмотрим треугольник ABX. Так как AB = AX, то треугольник ABX равнобедренный, и углы при основании равны: ∠ABX = ∠AXB = 92°.

Сумма углов треугольника ABX равна 180°, поэтому:

$$∠BAX + ∠ABX + ∠AXB = 180°$$

$$∠BAX + 92° + 92° = 180°$$

$$∠BAX = 180° - 92° - 92°$$

$$∠BAX = -4°$$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны, то есть ∠ABC = ∠ACB.

Угол ABC состоит из двух углов: ∠ABX и ∠XBC, значит, ∠ABC = ∠ABX + ∠XBC

Угол ACB = ∠ACB

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны, значит ∠ABC = ∠ACB.

Сумма углов в треугольнике 180°

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

Т.к. ∠ABC = ∠ACB, то ∠BAC + 2∠ABC = 180°

Выразим ∠ABC:

$$∠ABC = (180° - ∠BAC) / 2$$

$$∠ABC = (180° - (-4°)) / 2$$

$$∠ABC = (180° + 4°) / 2$$

$$∠ABC = 184° / 2$$

$$∠ABC = 92°$$

∠ABC состоит из двух углов: ∠ABX и ∠XBC. Значит,

∠ABC = ∠ABX + ∠XBC

Выразим ∠XBC:

∠XBC = ∠ABC - ∠ABX

$$∠XBC = 92° - 92°$$

$$∠XBC = 0°$$

Из условия AX = BY, AB=AC. Пусть ∠ABX = x, а ∠CBY = y.

Рассмотрим углы ∠ABC и ∠ACB, углы при основании равнобедренного треугольника, тогда:

∠ABC = ∠ABX + ∠XBY + ∠YBC

∠ABC = x + 4° + y

∠ACB = ∠YCB

∠BAC = 180 - 2*(x+4+y)

Рассмотрим ΔABX и ΔBCA. Они равнобедренные, значит углы при их основаниях равны.

∠BAX = 180 - 2x

Рассмотрим ΔBCA

∠CBY = (180-2x) - 4

Имеем, что ΔABX = ΔBCA (по двум сторонам и углу между ними)

∠AXB = ∠BYC

Поскольку ∠AXB и ∠BXY смежные, то

∠AXB + ∠BXY = 180

И ∠BYC и ∠BYA смежные, то ∠BYC + ∠BYA = 180

∠BXY = ∠BYA = (180-4)/2 = 88

∠AXB = ∠BYC = 180 - 88 = 92

Δ ABX. Сторона AB = AX, Δ равнобедренный

∠ABX = ∠AXB = 92

∠A = 180 - 92 - 92 = -4 (не имеет смысла, условие не корректно)

Стороны AB = AC, Δ равнобедренный

∠ABC = ∠ACB = (180-∠A)/2 = (180-(-4))/2 = 92

∠CBY = ∠ABC - ∠ABX - ∠XBY

∠CBY = 92 - 92 -4 = -4

Ответ: -4°