18) В треугольнике АВС стороны АВ И АС равны. На стороне АС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками А и У и АХ = BX = BY. Найдите ∠CBY, если ∠XBY = 16°.

Дано: треугольник ABC, AB = AC, AX = BX = BY, ∠XBY = 16°.

Найти: ∠CBY.

Решение:

Пусть ∠CBY = x. Тогда ∠BXY = ∠CBY = x, так как BX = BY, а значит, треугольник BXY равнобедренный.

∠BXA = ∠XBY + ∠BYX = 16° + x, так как ∠BXA является внешним углом треугольника BXY.

Так как AX = BX, то треугольник ABX равнобедренный, следовательно, ∠BAX = ∠BXA = 16° + x.

∠ABC = ∠ACB, так как треугольник ABC равнобедренный. Выразим угол ACB, зная, что ∠ACB = ∠CBY + ∠YBA, то есть ∠ACB = x + ∠YBA.

С другой стороны, ∠BAC = ∠BAX = 16° + x.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.

Подставим известные значения: (16° + x) + (x + ∠YBA) + (x + ∠YBA) = 180°.

Так как ∠ABC = ∠ACB, то ∠ABC = x + 16°.

Получаем уравнение: (16° + x) + 2(x + 16°) = 180° - (16° + x).

Упростим уравнение: 16° + x + 2x + 32° = 180°.

3x + 48° = 180°.

3x = 180° - 48°.

3x = 132°.

x = 44°.

То есть, ∠CBY = 44°.

Ответ: 44°