6. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Хи Ү так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAХ. Найдите длину отрезка AY, если АХ = 14.

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 75°. Точки X и Y лежат на стороне BC, причем точка X между B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найти AY, если AX = 14.

1. Т.к. AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. Следовательно, ∠BAC = ∠ACB = 75°.

2. ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 75° - 75° = 30°.

3. Т.к. AX = BX, то треугольник ABX - равнобедренный с основанием AB. Следовательно, ∠BAX = ∠ABX = 30°.

4. ∠AXB = 180° - ∠BAX - ∠ABX = 180° - 30° - 30° = 120°.

5. Т.к. ∠BAX = ∠YAX = 30°, то ∠BAY = ∠BAX + ∠YAX = 30° + 30° = 60°.

6. Рассмотрим треугольник ABY. ∠BAY = 60°, ∠ABY = 30°. Следовательно, ∠AYB = 180° - ∠BAY - ∠ABY = 180° - 60° - 30° = 90°.

7. Треугольник ABY - прямоугольный. Т.к. AX = BX = 14, то AB = AX + BX = 14 + 14 = 28.

8. AY = AB × cos(∠BAY) = 28 × cos(60°) = 28 × 0,5 = 14.

Ответ: 14