В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75° На стороне ВС взяли точки Хи У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 14.

Решение:

Так как стороны AB и BC равны, то треугольник ABC - равнобедренный. Значит углы при основании AC равны.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2

∠ABC = 180 - 75*2 = 30°

∠BAC = ∠BCA = 75°.

Пусть ∠BAX = ∠YAX = α.

Тогда ∠CAX = 75° - α

Так как AX = BX, то треугольник ABX - равнобедренный, и углы при основании AX равны:

∠BAX = ∠ABX = α.

Сумма углов треугольника ABX равна 180°:

∠AXB = 180° - 2α.

Угол AXB - внешний угол треугольника AXC, поэтому он равен сумме двух других углов, не смежных с ним:

∠AXB = ∠XCA + ∠CAX

180° - 2α = α + 75°

3α = 105°

α = 35°

Рассмотрим треугольники ABX и AXY:

AX = BX (по условию)

∠BAX = ∠YAX (по условию)

AX - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABX и AXY равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Тогда AY = AB

Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный.

Следовательно, AY = AB = AX = 14.