2. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ДАСВ = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и У, АХ = ВХ и ∠ВАХ = ∠YAХ. Найдите длину отрезка АХ, если АХ = 6.

По условию задачи АХ = ВХ, следовательно, треугольник АВХ – равнобедренный. Тогда углы ВАХ и АВХ равны. Пусть ∠ВАХ = ∠YAX = α.

∠ACB = 75°, следовательно, ∠CAB = ∠ABC = (180° - 75°)/2 = 52,5°.

Тогда ∠ABX = ∠ABC = 52,5°, следовательно, ∠BAX = 52,5°. Значит α = 52,5°.

∠XAY = ∠BAX = ∠YAX = α, следовательно, ∠XAY = 52,5°.

Рассмотрим треугольник AXY. ∠YAX = 52,5°, AX = 6.

Так как ∠BAX = ∠YAX, АХ – биссектриса угла ВАУ. Треугольник АВУ – равнобедренный, т.к. АВ = ВС по условию, значит АВ = ВУ. Следовательно, АХ – медиана и высота, то есть АХ перпендикулярна ВУ.

Тогда треугольник АХУ – прямоугольный. ∠YAX = 52,5°, следовательно, ∠AYX = 90° - 52,5° = 37,5°.

AY/AX = cos ∠YAX.

AY = AX * cos ∠YAX = 6 * cos 52,5° ≈ 6 * 0,6088 = 3,6528.

Ответ: 3,6528