В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС. Площади треугольников АВК и КВС относятся как 1 : 3, BC = 10 см. Найдите АС, если \(\frac{BC}{AC} = \frac{AK}{KC}\).

Давай решим эту задачу вместе!

Пусть площадь треугольника ABK равна S, тогда площадь треугольника KBC равна 3S. Общая площадь треугольника ABC равна S + 3S = 4S.

Нам дано, что \(\frac{BC}{AC} = \frac{AK}{KC}\). Обозначим AK = x, KC = y. Тогда \(\frac{BC}{AC} = \frac{x}{y}\).

Так как \(\frac{BC}{AC} = \frac{AK}{KC}\), то \(\frac{10}{x+y} = \frac{x}{y}\). Отсюда \(10y = x(x+y)\).

Площади треугольников ABK и KBC относятся как 1:3. У этих треугольников общая высота, проведенная из вершины B к стороне AC. Следовательно, отношение их площадей равно отношению длин оснований AK и KC:

\[\frac{S}{3S} = \frac{AK}{KC} = \frac{x}{y} = \frac{1}{3}\]

Значит, y = 3x.

Подставим y = 3x в уравнение \(10y = x(x+y)\):

\[10(3x) = x(x + 3x)\] \[30x = x(4x)\] \[30x = 4x^2\]

Разделим обе части на x (x ≠ 0):

\[30 = 4x\] \[x = \frac{30}{4} = 7.5\text{ см}\]

Теперь найдем y:

\[y = 3x = 3 \cdot 7.5 = 22.5\text{ см}\]

AC = AK + KC = x + y = 7.5 + 22.5 = 30 см.

Ответ: AC = 30 см

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Так держать!