В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 30°, BC = 6√2. Найдите AC.

Решение:

В треугольнике ABC нам даны: \( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \), \( BC = 6\sqrt{2} \).

Сначала найдём угол C:

\( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 30^{\circ} = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ} \).

Теперь воспользуемся теоремой синусов для нахождения стороны AC:

\( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{AC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} \)

Мы знаем, что \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \) и \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( \frac{AC}{\frac{1}{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)

Упростим правую часть:

\( \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 6 \cdot 2 = 12 \).

Теперь решим уравнение относительно AC:

\( 2 \cdot AC = 12 \)

\( AC = \frac{12}{2} = 6 \).

Ответ: AC = 6.