В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, BC = 12√6. Найдите АС.

Это задача на применение теоремы синусов.

Теорема синусов гласит: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

В нашем случае:

\[ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin(60^{\circ})} = \frac{12\sqrt{6}}{\sin(45^{\circ})} \]

Вспомним значения синусов:

\[ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим их в уравнение:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упростим:

\[ AC \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{6} \times \frac{2}{\sqrt{2}} \]

\[ AC \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \]

Разделим корни:

\[ \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} \]

\[ AC \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{3} \]

Теперь найдем AC:

\[ AC = 24\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ AC = \frac{24 \times (\sqrt{3})^2}{2} \]

\[ AC = \frac{24 \times 3}{2} \]

\[ AC = \frac{72}{2} \]

\[ AC = 36 \]

Ответ: 36