В треугольнике АВС угол АВС равен 120°, AB = BC, BM – медиана. На луче BM отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если AB = 30.

Решение:

• Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный. BM - медиана, проведенная к основанию AC, также является высотой и биссектрисой. Следовательно, ∠ABM = ∠CBM = 120°/2 = 60°.
• Рассмотрим треугольник ABM. Он прямоугольный (так как BM - высота). Известно, что ∠ABM = 60° и AB = 30. Тогда AM = AB * sin(60°) = 30 * (√3/2) = 15√3. BM = AB * cos(60°) = 30 * (1/2) = 15.
• Так как ∠BAF = 90°, то треугольник BAF - прямоугольный. Рассмотрим его. Известно, что AB = 30. AF = AB * cos(90°) = 0. BF = AB * sin(90°) = 30.
• FM = BF - BM = 30 - 15 = 15.

Ответ: 15