В треугольнике АВС угол АВС равен 120°, АВ = ВС, ВМ – медиана. На луче ВМ отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите АВ, если FM = 63.

Решение:

1. Так как \( AB = BC \), треугольник \( ABC \) — равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике медиана \( BM \), проведённая к основанию \( AC \), является также высотой и биссектрисой.
3. Угол \( ABM = MBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
4. В прямоугольном треугольнике \( ABM \) (так как \( BM \) — высота): \(  M = 90^{\circ} \).
5. Угол \( BAM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
6. В прямоугольном треугольнике \( ABM \) катет \( AM \), противолежащий углу \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы \( AB \): \( AM = \frac{1}{2} AB \).
7. По теореме Пифагора: \( BM^2 + AM^2 = AB^2 \).
8. Подставим \( AM = \frac{1}{2} AB \): \( BM^2 + (\frac{1}{2} AB)^2 = AB^2 \)
9. \( BM^2 + \frac{1}{4} AB^2 = AB^2 \)
10. \( BM^2 = AB^2 - \frac{1}{4} AB^2 = \frac{3}{4} AB^2 \)
11. \( BM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB \).
12. На луче \( BM \) отмечена точка \( F \) такая, что \( \angle BAF = 90^{\circ} \). Треугольник \( ABF \) — прямоугольный.
13. В прямоугольном треугольнике \( ABF \), \( BF = AB \cos(\angle ABF) \).
14. Так как \( F \) лежит на луче \( BM \), угол \(  ABF =  ABM = 60^{\circ} \).
15. \( BF = AB \cos(60^{\circ}) = AB \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} AB \).
16. Мы знаем, что \( BM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB \).
17. \( FM = |BF - BM| \).
18. Рассмотрим два случая: \( F \) между \( B \) и \( M \), или \( M \) между \( B \) и \( F \).
19. Так как \( \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} \) (так как \( 1 < \sqrt{3} \)), то \( BF < BM \). Значит, точка \( F \) лежит между \( B \) и \( M \).
20. \( FM = BM - BF = \frac{\sqrt{3}}{2} AB - \frac{1}{2} AB = AB \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \).
21. Нам дано, что \( FM = 63 \).
22. \( AB \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = 63 \)
23. \( AB = \frac{63 \times 2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{126}{\sqrt{3} - 1} \)
24. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{3} + 1 \):
25. \( AB = \frac{126(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{126(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{126(\sqrt{3} + 1)}{2} = 63(\sqrt{3} + 1) \)

Ответ: \( 63(\sqrt{3} + 1) \).