В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 3, cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}. Найдите длину стороны ВС.

Ответ: 6

Разбираемся:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

\[\cos A = \frac{AC}{AB}\]

Из условия задачи известно, что \(\cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}\) и \(AC = 3\). Подставим эти значения в формулу:

\[\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{3}{AB}\]

Чтобы найти AB, выразим его из уравнения:

\[AB = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}}\]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[AB = \frac{15 \sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}\]

Теперь, когда известны AC и AB, можно найти BC, используя теорему Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Выразим BC из теоремы Пифагора:

\[BC^2 = AB^2 - AC^2\]

Подставим известные значения:

\[BC^2 = (3\sqrt{5})^2 - 3^2\] \[BC^2 = 45 - 9 = 36\]

Извлечем квадратный корень, чтобы найти BC:

\[BC = \sqrt{36} = 6\]

Ответ: 6