1. В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC 1, BC v√99. Найдите cов А. 2. Найдагте угол АВС равнобедренной трапеции АВСД, если диагональ АС образует с основани см. AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100 соответственно. 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 11 изображён параллелограмм ABCD. Во сколько раз сторона AD меньше высоты параллелограмма, проведённой к этой стороне 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 11 изображён острый угол. Найдите тангенс этого угла. Ответ: 5. Выберите неверное утверждение и запишите в ответе его номер. 1) Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 20°, то другой острый угол равен 70°. 2) Если две данные прямые перпендикулярны третьей, то эти две прямые перпендикулярны друг другу. 3) Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его медная. 6. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. 2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. 3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10. 4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма ранна 10. Если улверждений несколько, запишите их номера в порядке возросявания 7. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. На стороне АС взяли точки Хи У так, что точка Х лежит между точками А и Уи AX BX BY. Найдите величину угла СВУ, если ХBY 28°. Запишите решение и ответ.

Задание 1

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°, AC = 1, BC = √99, нужно найти cos A.

Решение:

Косинус угла A (cos A) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB).

Сначала найдем гипотенузу AB, используя теорему Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 1^2 + (\sqrt{99})^2 \]

\[ AB^2 = 1 + 99 \]

\[ AB^2 = 100 \]

\[ AB = \sqrt{100} = 10 \]

Теперь найдем cos A:

\[ cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{10} = 0.1 \]

Ответ: cos A = 0.1

Задание 2

В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC образует с основанием AD угол 20°, а с боковой стороной CD - угол 100°. Найти угол ABC.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, угол BAD тоже равен углу CDA.

Угол CAD = 20°.

Угол ACD = 100°.

Сумма углов в треугольнике ACD равна 180°:

Угол ADC = 180° - (20° + 100°) = 180° - 120° = 60°.

Так как трапеция равнобедренная, угол BAD = углу ADC = 60°.

Угол BAC = угол BAD - угол CAD = 60° - 20° = 40°.

Сумма углов ABC и BCD равна 180° (как углы, прилежащие к боковой стороне трапеции).

Угол ACB = 180° - (100° + 20°) = 60°.

Угол ABC = 180° - угол BCD = 180° - (100°+20°) = 180° - 120° = 60°.

Угол ABC = 180 - (100+20) = 60.

Ответ: Угол ABC = 60°.

Задание 3

На клетчатой бумаге изображен параллелограмм ABCD. Во сколько раз сторона AD меньше высоты параллелограмма, проведённой к этой стороне?

Решение:

По рисунку видно, что сторона AD равна 2 клеткам. Высота параллелограмма, проведённая к стороне AD, равна 4 клеткам.

Следовательно, высота в 4 / 2 = 2 раза больше стороны AD.

Ответ: в 2 раза.

Задание 4

На клетчатой бумаге изображён острый угол. Найдите тангенс этого угла.

Решение:

По рисунку видно, что катеты прямоугольного треугольника, образованного углом, равны 4 и 2 клеткам.

Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. То есть 4/2 = 2.

Ответ: 2.

Задание 5

Выберите неверное утверждение:

1. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 20°, то другой острый угол равен 70°. (Верно, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°).
2. Если две данные прямые перпендикулярны третьей, то эти две прямые перпендикулярны друг другу. (Неверно. Они параллельны).
3. Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его медиан. (Верно).

Ответ: 2.

Задание 6

Какие утверждения верны?

1. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. (Неверно).
2. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. (Неверно. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту).
3. Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10. (Неверно. Площадь равна 0.5 * 4 * 5 * sin(30) = 5).
4. Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10. (Верно. Площадь параллелограмма равна 4 * 5 * sin(30) = 10).

Ответ: 4.

Задание 7

В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если XBY = 28°.

Решение:

Пусть угол ABX = x. Тогда, так как AX = BX, треугольник ABX - равнобедренный, и угол BAX = ABX = x.

Внешний угол BXA треугольника ABX равен сумме двух углов, не смежных с ним, то есть угол BXA = x + x = 2x.

Так как BX = BY, треугольник BXY - равнобедренный, и угол BXY = угол BYX. Тогда угол BYX = 2x.

Угол XBY = 28° (дано). В треугольнике BXY: угол XBY + угол BXY + угол BYX = 180°.

28° + 2x + 2x = 180°.

4x = 180° - 28° = 152°.

x = 152° / 4 = 38°.

Угол ABC = угол ACB (так как треугольник ABC - равнобедренный). Угол BAC = x = 38°.

Угол ABC = (180° - 38°) / 2 = 142° / 2 = 71°.

Угол CBY = угол ABC - угол ABX - угол XBY.

Угол CBY = 71° - 38° - 28° = 5°.

Ответ: 5°.