1.В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 24 см, АВ = 30 см. Найдите ВС. 2. В треугольнике КМР стороны равны: МР = 7 см, КМ = 20 см, КР = 25 см. Является ли треугольник КМР прямоугольным? 3. Лестница длиной 7,5 м приставлена к стене так, что расстояние от её нижнего конца до стены дома равно 4,5 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? 4. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 36 см и 77 см. 5. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны 10 км/ч и 24 км/ч соответственно. Какое расстояние будет между ними через 1 час? 6. От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли. Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. 7. Основания равнобедренной трапеции равны 1,5 см и 2,3 см. Высота трапеции равна 0,3 см. Найдите длину боковой стороны трапеции. 8. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см. 9. Мальчик прошёл от дома на восток 800 м, затем повернул на север и прошёл 600 м. На каком расстоянии от дома он оказался? 10. На расстоянии 40 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 22 м, а другой - 31 м. Найдите расстояние между их верхушками. 11. От электрического столба высотой 8 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли. Расстояние от столба до дома - 12 м. Найдите длину провода.

Задачи по теореме Пифагора для 8 класса

1. В треугольнике ABC найдите BC

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, AC = 24 см, AB = 30 см, нужно найти BC. Воспользуемся теоремой Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).

Давай найдем BC:

\[BC^2 = AB^2 - AC^2\]\[BC^2 = 30^2 - 24^2\]\[BC^2 = 900 - 576\]\[BC^2 = 324\]\[BC = \sqrt{324}\]\[BC = 18\ \text{см}\]

Ответ: \(BC = 18\) см

2. Проверка, является ли треугольник KMP прямоугольным

В треугольнике KMP стороны равны: MP = 7 см, KM = 20 см, KP = 25 см. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для этого треугольника. Если \(MP^2 + KM^2 = KP^2\), то треугольник прямоугольный.

\[MP^2 + KM^2 = 7^2 + 20^2\]\[MP^2 + KM^2 = 49 + 400\]\[MP^2 + KM^2 = 449\]\[KP^2 = 25^2 = 625\]

Так как \(449
eq 625\), треугольник KMP не является прямоугольным.

Ответ: Треугольник KMP не является прямоугольным.

3. Высота лестницы

Лестница длиной 7,5 м приставлена к стене, расстояние от нижнего конца до стены 4,5 м. Обозначим высоту, на которой находится верхний конец лестницы, как h. Используем теорему Пифагора:

\[7.5^2 = 4.5^2 + h^2\]\[56.25 = 20.25 + h^2\]\[h^2 = 56.25 - 20.25\]\[h^2 = 36\]\[h = \sqrt{36}\]\[h = 6\ \text{м}\]

Ответ: Верхний конец лестницы находится на высоте 6 м.

4. Диагональ прямоугольника

Прямоугольник со сторонами 36 см и 77 см. Диагональ можно найти по теореме Пифагора: \(d^2 = 36^2 + 77^2\).

\[d^2 = 36^2 + 77^2\]\[d^2 = 1296 + 5929\]\[d^2 = 7225\]\[d = \sqrt{7225}\]\[d = 85\ \text{см}\]

Ответ: Диагональ прямоугольника равна 85 см.

5. Расстояние между пароходами

Два парохода вышли из порта: один на север со скоростью 10 км/ч, другой на запад со скоростью 24 км/ч. Через 1 час расстояние между ними можно найти, используя теорему Пифагора.

Расстояние, которое прошел первый пароход: \(10 \cdot 1 = 10\) км.

Расстояние, которое прошел второй пароход: \(24 \cdot 1 = 24\) км.

\[d^2 = 10^2 + 24^2\]\[d^2 = 100 + 576\]\[d^2 = 676\]\[d = \sqrt{676}\]\[d = 26\ \text{км}\]

Ответ: Расстояние между пароходами через 1 час будет 26 км.

6. Высота столба

Провод длиной 10 м натянут от столба к дому, закреплен на стене дома на высоте 3 м от земли. Расстояние от дома до столба равно 8 м. Пусть высота столба равна h. Используем теорему Пифагора:

\[10^2 = 8^2 + (h - 3)^2\]\[100 = 64 + (h - 3)^2\]\[36 = (h - 3)^2\]\[h - 3 = \sqrt{36}\]\[h - 3 = 6\]\[h = 9\ \text{м}\]

Ответ: Высота столба равна 9 м.

7. Длина боковой стороны трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 1,5 см и 2,3 см, высота равна 0,3 см. Найдем длину боковой стороны. Разница между основаниями: \(2.3 - 1.5 = 0.8\) см. Половина этой разницы: \(0.8 / 2 = 0.4\) см. Теперь используем теорему Пифагора:

\[a^2 = 0.3^2 + 0.4^2\]\[a^2 = 0.09 + 0.16\]\[a^2 = 0.25\]\[a = \sqrt{0.25}\]\[a = 0.5\ \text{см}\]

Ответ: Длина боковой стороны трапеции равна 0,5 см.

8. Сторона ромба

Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Получаем прямоугольный треугольник со сторонами 5 см и 12 см. Используем теорему Пифагора:

\[a^2 = 5^2 + 12^2\]\[a^2 = 25 + 144\]\[a^2 = 169\]\[a = \sqrt{169}\]\[a = 13\ \text{см}\]

Ответ: Сторона ромба равна 13 см.

9. Расстояние мальчика от дома

Мальчик прошел от дома на восток 800 м, затем на север 600 м. Расстояние от дома можно найти, используя теорему Пифагора:

\[d^2 = 800^2 + 600^2\]\[d^2 = 640000 + 360000\]\[d^2 = 1000000\]\[d = \sqrt{1000000}\]\[d = 1000\ \text{м}\]

Ответ: Мальчик оказался на расстоянии 1000 м от дома.

10. Расстояние между верхушками сосен

Две сосны растут на расстоянии 40 м друг от друга. Высота одной 22 м, другой - 31 м. Разница в высоте: \(31 - 22 = 9\) м. Используем теорему Пифагора:

\[d^2 = 40^2 + 9^2\]\[d^2 = 1600 + 81\]\[d^2 = 1681\]\[d = \sqrt{1681}\]\[d = 41\ \text{м}\]

Ответ: Расстояние между верхушками сосен равно 41 м.

11. Длина провода

От электрического столба высотой 8 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли. Расстояние от столба до дома - 12 м. Разница в высоте: \(8 - 3 = 5\) м. Используем теорему Пифагора:

\[d^2 = 12^2 + 5^2\]\[d^2 = 144 + 25\]\[d^2 = 169\]\[d = \sqrt{169}\]\[d = 13\ \text{м}\]

Ответ: Длина провода равна 13 м.

Все задачи решены! Ты молодец! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!