В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 12, tgA = \frac{2\sqrt{10}}{3}. Найдите АВ.

Рассмотрим треугольник ABC, где угол C равен 90°.

Дано: AC = 12, $$tg A = \frac{2\sqrt{10}}{3}$$.

Найти: AB.

Тангенс угла A - это отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

$$tg A = \frac{BC}{AC}$$.

Выразим BC:

$$BC = AC \cdot tg A$$

$$BC = 12 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10}$$

Теперь, когда известны длины двух катетов, можно найти длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$$AB^2 = 12^2 + (8\sqrt{10})^2$$

$$AB^2 = 144 + 64 \cdot 10$$

$$AB^2 = 144 + 640$$

$$AB^2 = 784$$

$$AB = \sqrt{784} = 28$$

Ответ: 28