В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС-2, sinA=\frac{\sqrt{17}}{17}. Найдите ВС.

Шаг 1: Определение синуса угла A.

Синус угла A - это отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Шаг 2: Выразим BC через sin A и AB. \[BC = AB \cdot \sin A\]

Шаг 3: Теорема Пифагора для треугольника ABC.

Для прямоугольного треугольника ABC выполняется теорема Пифагора:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]

Шаг 4: Выразим AB через AC и BC. \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}\]

Шаг 5: Подставим выражение для AB в формулу для BC. \[BC = \sqrt{AC^2 + BC^2} \cdot \sin A\]

Шаг 6: Подставим известные значения AC = 2 и sinA = \frac{\sqrt{17}}{17}. \[BC = \sqrt{2^2 + BC^2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{17}\]

Шаг 7: Возведем обе части уравнения в квадрат. \[BC^2 = (4 + BC^2) \cdot \frac{17}{289}\]

Шаг 8: Упростим уравнение, умножив обе части на 289. \[289BC^2 = 17(4 + BC^2)\] \[289BC^2 = 68 + 17BC^2\]

Шаг 9: Перенесем все члены с BC² в левую часть. \[289BC^2 - 17BC^2 = 68\] \[272BC^2 = 68\]

Шаг 10: Разделим обе части на 272, чтобы найти BC². \[BC^2 = \frac{68}{272} = \frac{1}{4}\]

Шаг 11: Извлечем квадратный корень, чтобы найти BC. \[BC = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]