В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH – высота, AB = 45, sin A = 1/3. Найдите длину отрезка АН.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем BC, зная синус угла A и гипотенузу AB:
  \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]
  \[BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15\]
• Шаг 2: Найдем косинус угла A, зная синус. Так как \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\), то:
  \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\]
  \[\cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]
• Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем \(\cos A = \frac{AH}{AC}\). Выразим AC из треугольника ABC:
  \[\cos A = \frac{AC}{AB}\]
  \[AC = AB \cdot \cos A = 45 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 30\sqrt{2}\]
• Шаг 4: Теперь из треугольника ACH найдем AH:
  \[AH = AC \cdot \cos A = 30\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{30 \cdot 2 \cdot 2}{3} = 40\]

Ответ: 40