9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 100, sin ∠A = 4 5. Найдите длину отрезка АН.

Разбираемся:

Шаг 1: Найдем длину BC:

\[\sin A = \frac{BC}{AB} \Rightarrow BC = AB \cdot \sin A = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80\]

Шаг 2: Найдем длину AC по теореме Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100^2 - 80^2} = \sqrt{10000 - 6400} = \sqrt{3600} = 60\]

Шаг 3: Найдем длину AH:

\[\cos A = \frac{AH}{AC} = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]

\[AH = AC \cdot \cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\]

ИЛИ

\[CH^2=AC^2-AH^2 \Rightarrow AH = AC \cdot \cos A = 36\]