В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH - высота, АВ = 100, sin A = \frac{4}{5}. Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 36

Решение:

• Шаг 1: Найдем сторону AC.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB), то есть sin A = \frac{BC}{AB}. Но нам нужно найти AC, поэтому воспользуемся косинусом угла A. Поскольку sin A = \frac{4}{5}, то cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.

Теперь найдем AC: cos A = \frac{AC}{AB}, следовательно, AC = AB \cdot cos A = 100 \cdot \frac{3}{5} = 60.

• Шаг 2: Найдем сторону AH.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ACH. У них угол A общий. Значит, треугольники ABC и ACH подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорция: \frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}. Следовательно, AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{60^2}{100} = \frac{3600}{100} = 36.

Ответ: 36