В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH - высота, АВ = 45, sin A=2/3. Найдите длину отрезка ВН.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим катет BC. Зная синус угла A и гипотенузу AB, можем найти катет BC, противолежащий углу A: \[ BC = AB \cdot sin A = 45 \cdot \frac{2}{3} = 30 \]
• Шаг 2: Находим косинус угла A. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ sin^2 A + cos^2 A = 1 \]Тогда: \[ cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]Значит, \[ cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
• Шаг 3: Находим отрезок AH. В прямоугольном треугольнике ABC, зная катет AC и косинус угла A, можно найти проекцию катета AC на гипотенузу AB, т.е. отрезок AH: \( AH = AC \cdot cos A \) . Сначала найдем АС по теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{45^2 - 30^2} = \sqrt{2025 - 900} = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5} \]Тогда \( AH = 15\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 15 \cdot \frac{5}{3} = 25 \).
• Шаг 4: Находим отрезок BH. Так как \( AB = AH + BH \), то \( BH = AB - AH \). \( BH = 45 - 25 = 20 \).

Ответ: 20