Решение задачи 1:

Для решения этой задачи нам потребуется несколько шагов и знание формул для прямоугольного треугольника и вписанной окружности.

1. Обозначения:

   • Пусть ( a ) и ( b ) - катеты треугольника, а ( c ) - гипотенуза (в данном случае, ( c = AB = 11 )).
   • ( r ) - радиус вписанной окружности (в данном случае, ( r = 5 )).
   • ( S ) - площадь треугольника.

2. Формула радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника:

   $$ r = \frac{a + b - c}{2} $$

   Подставим известные значения:

   $$ 5 = \frac{a + b - 11}{2} $$

3. Выразим сумму катетов:

   $$ 10 = a + b - 11 $$

   $$ a + b = 21 $$

4. Теорема Пифагора:

   $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

   $$ a^2 + b^2 = 11^2 = 121 $$

5. Выразим квадрат суммы катетов:

   $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

   Подставим известные значения:

   $$ (21)^2 = 121 + 2ab $$

   $$ 441 = 121 + 2ab $$

6. Найдем произведение катетов:

   $$ 2ab = 441 - 121 = 320 $$

   $$ ab = 160 $$

7. Формула площади прямоугольного треугольника:

   $$ S = \frac{1}{2} ab $$

   Подставим значение ( ab ):

   $$ S = \frac{1}{2} \cdot 160 = 80 $$

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 80.