В треугольнике АВС угол C равен 90°, СH — высота, АВ = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 25

1. В прямоугольном треугольнике ABC: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)
2. В прямоугольном треугольнике ACH: \( \cos A = \frac{AH}{AC} \)
3. Найдём \( \cos A \), зная \( \sin A = \frac{5}{6} \): \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}\]
4. Найдём BC: \[BC = AB \cdot \sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30\]
5. Найдём AC по теореме Пифагора для треугольника ABC: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{36^2 - 30^2} = \sqrt{1296 - 900} = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\]
6. Найдём AH: \[AH = AC \cdot \cos A = 6\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 11\]
7. Другое решение: Рассмотрим треугольник AHC, где угол AHC = 90 градусов. \(\sin A = \frac{CH}{AC}\) \(CH = AC \cdot \sin A\) Рассмотрим треугольник CHB, где угол CHB = 90 градусов. \(\cos A = \frac{AH}{AC}\) Выразим AH через известные величины. \(AH = AB \cdot \sin^2 A\) Подставим значения: \(AH = 36 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 36 \cdot \frac{25}{36} = 25\)

Ответ: 25