1) В треугольнике АВС угол C равен 90°, sin A = \frac{3}{4}, АС = 6√7. Найдите АВ. 2) В треугольнике АВС АС - ВС, угол C равен 120°, АВ- 2√3. Найдите АС. 3) Куб описан около сферы радиуса 7,5. Найдите объём куба. 4) В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

1) В треугольнике АВС угол C равен 90°, sin A = \frac{3}{4}, АС = 6√7. Найдите АВ.

Логика такая:

1. В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):
\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]
2. Выразим BC через AB и sin A:
\[BC = AB \cdot \sin A = AB \cdot \frac{3}{4}\]
3. По теореме Пифагора:
\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]
4. Подставим известные значения и выражение для BC:
\[AB^2 = (6\sqrt{7})^2 + (\frac{3}{4}AB)^2\] \[AB^2 = 36 \cdot 7 + \frac{9}{16}AB^2\] \[AB^2 = 252 + \frac{9}{16}AB^2\]
5. Перенесём \(\frac{9}{16}AB^2\) в левую часть:
\[AB^2 - \frac{9}{16}AB^2 = 252\] \[\frac{16}{16}AB^2 - \frac{9}{16}AB^2 = 252\] \[\frac{7}{16}AB^2 = 252\]
6. Найдём AB²:
\[AB^2 = \frac{252 \cdot 16}{7}\] \[AB^2 = 36 \cdot 16\]
7. Извлечём квадратный корень, чтобы найти AB:
\[AB = \sqrt{36 \cdot 16} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{16} = 6 \cdot 4 = 24\]

Ответ: AB = 24

2) В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 120°, AB = 2√3. Найдите АС.

Разбираемся:

1. Так как AC = BC, треугольник ABC - равнобедренный.
2. Углы при основании AB равны:
\[\angle A = \angle B = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°\]
3. Применим теорему синусов:
\[\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}\]
4. Подставим известные значения:
\[\frac{2\sqrt{3}}{\sin 120°} = \frac{AC}{\sin 30°}\]
5. Выразим AC:
\[AC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 30°}{\sin 120°}\]
6. sin 30° = \(\frac{1}{2}\), sin 120° = \(\sin (180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\[AC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\] \[AC = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\] \[AC = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\] \[AC = 2\]

Ответ: AC = 2

3) Куб описан около сферы радиуса 7,5. Найдите объём куба.

Смотри, тут всё просто:

1. Если куб описан около сферы, то диаметр сферы равен ребру куба.
2. Радиус сферы r = 7,5, тогда диаметр d = 2r = 2 \cdot 7,5 = 15.
3. Ребро куба a = d = 15.
4. Объём куба V = a³ = 15³ = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 225 \cdot 15 = 3375.

Ответ: V = 3375

4) В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

Объём детали равен объёму вытесненной воды.

1. Определим площадь основания цилиндра. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту:
\[V = S \cdot h\]
2. Площадь основания:
\[S = \frac{V}{h} = \frac{2000}{12} = \frac{500}{3} \approx 166.67 \text{ см}^2\]
3. Когда деталь погрузили в воду, уровень поднялся на 9 см. Объём вытесненной воды (и, следовательно, объём детали) равен:
\[V_{\text{детали}} = S \cdot h_{\text{подъема}} = \frac{500}{3} \cdot 9 = 500 \cdot 3 = 1500 \text{ см}^3\]

Ответ: 1500 см³