В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 50, sin A = 0,4. Найдите длину отрезка ВН.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где \(\angle C = 90^\circ\). Дано, что \(AB = 50\) и \(\sin A = 0.4\). Наша цель - найти длину отрезка BH, где CH - высота, опущенная из вершины C на сторону AB. 2. Сначала найдем сторону BC, используя определение синуса угла A: \(\sin A = \frac{BC}{AB}\) \(0.4 = \frac{BC}{50}\) \(BC = 0.4 \cdot 50 = 20\) 3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. Угол \(\angle B\) является общим для треугольников ABC и BCH. 4. Найдем \(\cos B\) из треугольника ABC. Сначала найдем \(\cos A\), используя основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (0.4)^2 = 1 - 0.16 = 0.84\) \(\cos A = \sqrt{0.84}\) 5. Теперь найдем угол B: \(\angle B = 90^\circ - \angle A\). Следовательно, \(\sin B = \cos A = \sqrt{0.84}\) 6. В треугольнике BCH: \(\cos B = \frac{BH}{BC}\), следовательно, \(BH = BC \cdot \cos B\) 7. Выразим \(\cos B\) через известные значения: В треугольнике ABC: \(\cos B = \frac{AC}{AB}\) Найдем AC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 50^2 - 20^2 = 2500 - 400 = 2100\) \(AC = \sqrt{2100} = 10\sqrt{21}\) \(\cos B = \frac{10\sqrt{21}}{50} = \frac{\sqrt{21}}{5}\) Тогда \(BH = 20 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = 4\sqrt{21}\) 8. Другой способ: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABС. CH - высота, проведённая к гипотенузе AB. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, имеем \(\sin A = \frac{BC}{AB}\). Отсюда можем найти BC: \(BC = AB \cdot \sin A = 50 \cdot 0.4 = 20\). Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нём \(\angle CBH = 90^\circ - \angle A\), значит, \(\sin(\angle CBH) = \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - 0.4^2} = \sqrt{0.84}\). Тогда \(\cos(\angle CBH) = \sqrt{1 - 0.84} = \sqrt{0.16} = 0.4\). По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, имеем \(\cos(\angle CBH) = \frac{BH}{BC}\). Отсюда можем найти BH: \(BH = BC \cdot \cos(\angle CBH) = 20 \cdot 0.4 = 8\). 9. **Ответ:** BH = 8.