В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН - высота, АВ=100, sinA=-. Найдите длину отрезка АН. Ответ:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем катет AC

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB). Но нам дан синус угла A и гипотенуза, поэтому мы можем найти катет AC, используя косинус угла A: \[\sin A = \frac{4}{5}\] Найдем косинус угла A, зная основное тригонометрическое тождество: \[\cos^2 A + \sin^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\] Теперь найдем длину катета AC: \[AC = AB \cdot \cos A = 100 \cdot \frac{3}{5} = 60\]

• Шаг 2: Найдем AH

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ACH. У них угол A общий. Следовательно, треугольники подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует: \[\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}\] Выразим AH: \[AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{60^2}{100} = \frac{3600}{100} = 36\]